می‌بینیم توپولوژی تعریفی برای توپولوژی خارج‌قسمتی است که توسط نگاشت خارج‌قسمتی القا شده است.

مثال ۳-۳۰٫ فرض کنید یک نگاشت شناخته شده‌ای باشد. گروه‌وار توپولوژیکی با مجموعه اشیاء را به صورت زیر تعریف می‌کنیم:
چونزیرمجموعه‌ای از می‌باشد پس با القای توپولوژی حاصل‌ضربیبه ، به یک فضای توپولوژیکی تبدیل می‌شود. همچنین با تعریف نگاشت‌های پیوسته‌ی زیر، یک گروه‌وار توپولوژیکی می‌باشد.
و
نگاشت ترکیب
جایی‌که .
در نگاشت ترکیب داریم ، و ، بنابراین ، پس .
در نتیجه ریخت موجود می‌باشد. چون ، بنابراین در هر ترکیب فقط یک ریخت منحصربه‌فرد مانند موجود است. به همین دلیل در یک ترکیب یکتا موجود است.
طبق مثال ۳-۲۶، داریم یک –فضای چپ توسط همانی می‌باشد. همچنین فضای مدارهای یعنی توسط تعریف می‌شوند زیرا عمل –فضای ، برای هر به‌صورت تعریف می‌شود و چون توسط تعریف می‌شود و برد درون قرار می‌گیرد، پس تعریف به ساختار مربوط می‌شود.
ازطرفی روی به طور متعدی عمل می‌کند پس دارای تنها یک مدار می‌باشد.
تعریف ۳-۳۱٫ –فضای راست
گوییم یک -فضای راست است جایی‌کهیک فضای توپولوژیکی، یک نگاشت پیوسته و
یک عمل پیوسته‌ی گروه‌وار روی (از راست)، توسط نمودار برگردان زیر باشد:
نمودار۸٫
همچنین باید در اصول زیر صدق کند:
۱- .
۲- .
۳-
جایی‌که روابط بالا تعریف شده باشند.
تعریف ۳-۳۲٫ مدارها در –فضای راست
مدارهای فضای نیز براساس عمل داده شده، خوش‌تعریف می‌باشند، یعنی مدارهای فضای ، کلاس‌های هم‌ارزی تحت رابطه‌ی هم‌ارزی می‌باشند، جایی‌که اگر و فقط اگر موجود باشد به طوری‌که .
مجموعه‌ی مدارهای تحت عمل (از راست) را با نشان می‌دهیم.
نکته ۳-۳۳٫ با قرار دادن شرط ، روی عمل ، به راحتی می‌توان یک –فضای چپ را به یک –فضای راست به‌صورت زیر تبدیل کرد.
فرض کنید یک-فضای چپ باشد، بنابراین با توجه به‌ این‌که و تعریف‌شده می‌باشد، داریم:
وچون یک گروه‌وار است داریم و .
درنتیجه
و
بنابراین نیز تعریف‌شده می‌باشد.
می‌دانیم یک عمل چپ پیوسته است پس نیز پیوسته می‌باشد. حال با بررسی اصول زیر می‌بینیم
یک عمل راست پیوسته می‌باشد.
با فرض اینکه روابط زیر تعریف‌شده باشند، داریم:
۱-
۲-
۳-
بنابراین یک –فضای راست می‌باشد.■
فصل چهارم
حلقه-گروه‌وارهای توپولوژیکی
تعریف ۴-۱٫ گروه توپولوژیکی
یک گروه توپولوژیکی، یک گروه است با یک توپولوژی روی آن به طوری‌که نگاشت‌های ساختار گروهی( ضرب گروهی و معکوس گروهی)پیوسته باشند.
تعریف ۴-۲٫ ریخت بین گروه‌های توپولوژیکی
یک ریخت گروهی توپولوژیکی از یک گروه توپولوژیکی به دیگری، یک همریختی گروهی است که به‌ عنوان یک نگاشت، پیوسته نیز می‌باشد.
تعریف ۴-۳٫ گروه-گروه‌وار توپولوژیکی
گروه-گروه‌وار توپولوژیکی، یک گروه‌وار توپولوژیکی است که مجهز به یک ساختار گروه توپولوژیکی می‌باشد به قسمی‌که نگاشت‌های ساختار گروهی زیر ریخت‌های گروه‌وارهای توپولوژیکی باشند.
۱- ضرب گروهی.
۲- معکوس گروهی.
۳- .