بطور­کلی، سنتز مکانیزم­ ها به سه بخش متفاوت: ۱- سنتز نوع ۲-سنتز عددی ۳-سنتز ابعادی تقسیم می گردد. دو سنتز اول مربوط به نوع مکانیزم و تعداد اعضای مورد نیاز برای حرکت مکانیکی بخصوص هستند. در حالی که هدف از سنتز ابعادی پیدا کردن همه پارامتر­های ابعادی یک مکانیزم برای ایجاد حرکت دلخواه می­باشد. هدف ما در این تحقیق سنتز ابعادی برای یک مسیر مورد نظر می­باشد.

در بررسی ابعادی سه مسئله مهم مورد بررسی قرار می­گیرد که عبارتند از:
تولید ابعاد: هدف پیدا کردن مکانیزم برای ایجاد یک دسته از زوج­ها و خروجی معین می­باشد.
تولید مسیر: هدف پیدا نمودن یک مکانیزم برای عبور عضو واسط از نقاط معین است.
هدایت جسم صلب: هدف پیدا نمودن مکانیزم برای عبور عضو واسط از موقعیت­های معین شده برای آن، بعنوان یک جسم صلب است.
برای سنتز یک مکانیزم گاهی از روش­های دقیق و گاهی از روش های تقریبی استفاده می­گردد. سنتز دقیق به معنی حل معادلات حاکم بر مسئله به صورت دقیق می­باشد و در سنتز تقریبی هدف حداقل کردن خطا برای این معادلات می­باشد که سنتز بهینه اختصاص به این روش دارد.
۱-۲ تاریخچه سنتز ابعادی
سنتز ابعادی بخش اصلی فرایند طراحی و اولین قدم در طراحی ماشین می­باشد. به همین خاطر بیش از صد سال است که سنتز مکانیزم­ ها، توجه بسیاری از طراحان را به سمت خود جلب کرده است. هر چند روش­های اولیه برای سنتز بصورت ترسیمی بودند اما بعدها این روش­ها به صورت حل دقیق تغییر یافتند.
طبیعت غیرخطی بودن معادلات سنتز مانع از رشد این روش­های دقیق برای کاربردهای مختلف می­گردید که همین امر باعث شد تا تکنیک­های عددی با ظهور کامپیوترهای پر قدرت به حل این معادلات غیرخطی کمک کنند. اگرچه روش­های عددی منجر به حل تقریبی برای این معادلات می­شدند ولی محدودیت برای تعداد متغیرهای طراحی باعث ایجاد یک مشکل اساسی شد. اواسط دهه ی ۶۰ با گسترش تکنیک های محاسباتی و روش­های بهینه­سازی مکانیزم­ ها این مشکل اساسی برطرف گردید.
فوائد بسیاری در بکارگیری روش­های بهینه­سازی مکانیزم­ ها وجود دارد. برای مثال هیچ قیدی برای تعداد متغیر­های طراحی وجود ندارد. بنابراین ویژگی­هایی همچون قابلیت حرکت، زاویه انتقال و… را می­توان فرمول بندی کرد و در معادله به عنوان پارامترهای طراحی محاسبه نمود. در قرن نوزدهم کمپ (۱۸۷۶) و برمستر^[۱] (۱۸۸۸) سنتز ابعادی را در مسائل سینماتیکی بکار گرفتند. ولی در آن زمان پیشرفت کمی در این زمینه ایجاد گردید]۱[.در قرن بیستم برخی از محققان تلاش خود را در زمینه سنتز سینماتیکی با توجه به شاخه خاصی از مکانیزم بکار گرفتند. بعد از جنگ جهانی دوم، هنگامی که صنعت به سرعت رشد نمود، تقاضا برای طراحی مکانیزم­ های خاص افزایش یافت. نیاز های جدید، مسائل طراحی را با بهره گرفتن از روش های قدیمی بسیار پیچیده و سخت نمود. در سال (۱۹۵۴) لوتیسکی^[۲] و شاکوزیان^[۳] روش حداقل مربعات را برای سنتز مکانیزم­ های فضاییRSSR معرفی کردند]۲[. و در سال (۱۹۵۵) فرودنشتین^[۴] یک روش تقریبی برای سنتز مکانیزم­ های صفحه­ای چهار میله­ای برای تولید تابع معرفی کرد]۳[. این دو کار موجب ایجاد سبز فایل سینماتیکی معروف به سینماتیک مدرن شدند.
معادلات معروف فرودنشتاین و معادلات ورودی-خروجی برای مکانیزم RRRR صفحه ای در سال (۱۹۹۵) شکل گرفتند که بعدها برای سایر مکانیزم­ های صفحه­ای گسترش یافتند و ایجاد یک رابطه کلیدی در سنتز سینماتیکی کردند]۳[. بعد از این تحقیقات، فرودنشتین و سایرین بر روی یک روش سنتز، معروف به سنتز با بهره گرفتن از نقاط دقت کار کردند و موفق شدند با بهره گرفتن از چند جمله­ای­های تقریبی حاصله از نقاط دقت، این روش را معرفی کنند. اگرچه سنتز با بهره گرفتن از نقاط دقت برای مکانیزم­ های ساده مناسب می­باشد، نواقصی همچون محدودیت تعداد متغیر­های طراحی و عدم کنترل بر روی قید طراحی باعث عدم استفاده از این روش برای مکانیزم­ های پیچیده­تر می­گردد. اواسط دهه ۶۰، روش­های بهینه­سازی با بکارگیری برنامه ­های محاسباتی معرفی شدند ومسائل سنتز مکانیزم­ ها را کنترل نمودند (فاکس^[۵] و ویلمورت^[۶] ۱۹۶۷)]۴[. با افزایش پیشرفت در برنامه ­های محاسباتی بعد از جنگ جهانی دوم، کاربرد روش­های بهینه­سازی به سرعت افزایش یافت و پنجره جدیدی را بر روی روش­های قدیمی سینماتیکی باز نمود.
۱-۳ محاسبات اولیه در بررسی مکانیزم­ ها
تلاش محققان در مسائل مربوط به مکانیزم­ ها مربوط به دو بخش می­ شود:
رابطه بین متغیر­های ورودی و خروجی
حرکت عضو یا اعضای واسطه
مورد اول مربوط به آنالیز تولید تابع می­باشد و مورد دوم بررسی تولید مسیر و هدایت جسم صلب در طراحی مکانیزم­ ها مورد بررسی قرار می­گیرند. با بررسی بر روی خواص مکانیزم شش­میله ای که در این تحقیق به آن پرداخته می­ شود، هماننده مکانیزم پایه چهار میله ای، سه نکته عمده مرتبط با این مسائل می­توان عنوان نمود.
قابلیت حرکتی: که امکان دوران هر یک از عضوهای ورودی یا خروجی را بررسی می­ کند. چنانچه عضوی قادر به دوران ۳۶۰ درجه باشد، به عنوان لنگ و در غیر اینصورت آونگ خواهد بود. و بر این اساس مکانیزم­ ها به چهار دسته لنگ-لنگ، لنگ-آونگ، آونگ-لنگ و آونگ-آونگ تقسیم ­بندی می­گردند.
بررسی شاخه: برای یک ورودی معین بیش از یک خروجی امکان­ پذیر می­باشد یا به عبارت دیگر پیکربندی­های متفاوتی برای یک موقعیت خاص می­توان مونتاژ نمود. پس خاصیت شاخه بررسی پیکر بندی­های ممکن برای این موقعیت خاص می باشد.
انتقال نیرو و گشتاور: برای مکانیزم شش میله­ای مورد نطر که دارای یک درجه آزادی است، این خاصیت مربوط به انتقال نیرو و گشتاور از عضو ورودی به عضو خروجی می­باشد. به دلیل اینکه هر سه خاصیت ذکر شده به هندسه و ابعاد مکانیزم مربوط می­شوند، باید در ابتدای سنتز مورد توجه قرار بگیرند.
۱-۴ بهینه­سازی
بهینه­سازى، یکى از موارد مهم طراحى در علوم و به خصوص علوم مهندسى مى­باشد. بهینه­سازى، بهینه­یابى و بهینه­گزینى ، سه واژه با یک بار معنایى هستند که تعریف زیر در این زمینه ارائه شده است: ” تئورى بهینه­سازى چگونگى به دست آوردن بهترین را بررسى مى­کند. بدین منظور بایستى چگونگى سنجش بهتر و ارزش گذارى میان مطلوب و نامطلوب را تشخیص داد. تئورى بهینه­یابى، بررسى نقاط بهینه و روش­هاى پیدا کردن آنهاست” [٢٢]. نقاط بهینه و یا پاسخ­هاى یک مسئله بهینه­سازى، نقاط کمینه یا بیشینه تابعى هستند که تابع هدف نامیده مى شود. هر مسئله بهینه­سازى مى­تواند بدون از دست دادن عمومیت آن، به یک مسئله کمینه­سازى تبدیل شود. بنابراین نقاط بهینه، نقاطى هستند که تابع هدف را تا حد امکان کمینه سازند و هدف از بهینه­سازى جستجوى مقادیر مؤلفه­هاى این نقاط مى­باشد. مؤلفه­هاى این نقاط، متغیرهاى مستقل تابع هدف، متغیرهاى تصمیم­گیرى یا متغیرهاى طراحى نام دارند[٢٣]. روش­هاى گوناگونى براى بررسى مسائل بهینه سازى وجود دارد که هر یک بسته به ویژگى­هاى مسئله در جاى خود کاربرد دارند. براى پرداختن به مسئله بهینه­سازى باید ابتدا به شناخت کافى از مسئله دست یافت و سپس روش­هاى مناسبى براى حل آن برگزید. مسئله بهینه­سازى از لحاظ تعداد توابع هدف، ویژگى­هاى توابع، مقید یا نامقید بودن مسئله و غیره مى­توانند صورت­هاى گوناگونى داشته باشند. با توجه به این گوناگونى، روشهاى مختلفى نیز براى پرداختن به آنها وجود دارد. ممکن است برخى از این روش­ها در حل برخى مسائل کارایى لازم را نداشته باشند. براى مثال روشهاى مبتنى بر گرادیان^[۷] را نمى توان براى حل مسائلى که توابع هدفشان مشتق­پذیر نیست به­کار برد. برخى از ویژگى­هایى که در انتخاب روش مناسب بهینه­سازى مورد توجه قرار مى­گیرند، در ادامه بررسى مى شوند[٢۴]:
تعداد توابع هدف: مسائل بهینه­سازى را از لحاظ تعداد توابع هدف به دو دسته تک­هدفه و چند­هدفه تقسیم مى­نمایند. همه الگوریتم­هاى بهینه­سازى، قادر به انجام بهینه­سازى چندهدفه توابع، به صورت همزمان نیستند. گاهى با تبدیل چند تابع هدف به یک تابع هدف، به کمک روش هاى تک­هدفه به حل این مسائل مى­پردازند ولى این روش­هاى حل نمى توانند پاسخ­هایى با کارایى پاسخ­هاى الگوریتم­هاى ویژه بهینه­سازى چند هدفى را ارائه دهند.
پیوستگى و مشتق­پذیرى توابع هدف: در صورتى که تابع یا توابع هدف مسئله بهینه سازى، پیوسته و یا مشتق­پذیر نباشند، نمى­توان از روش­هاى مبتنى بر گرادیان و سایر روش­­هایى که به مشتقات تابع نیازمندند، بهره گرفت.
در دست بودن تابع هدف به صورت یک تابع صریح ریاضى: در برخى مسائل ممکن است تابع هدف به صورت یک معادله صریح در دست نباشد. براى مثال مقدار تابع با شبیه سازى رایانه­اى به ازاى متغیر­هاى تصمیم گیرى­اش به دست بیابد. در این گونه موارد نمى توان در مورد پیوستگى و یا مشتق پذیر بودن تابع نظرى داد.
قابلیت اعمال قیود: برخى از روش­هاى بهینه­سازى قابلیت اعمال هر نوع قیدى را ندارند. بنابراین در بررسى مسئله باید قیود مسئله را نیز در نظر گرفت.
۱-۴-۱ تاریخچه بکار گیری بهینه­سازی در مکانیزم­ ها
تکنیک حداقل مربعات که در آن بهینه سازی برای توابع هدفی که بصورت جمع مربعات خطا در فضای اقلیدسی در نظر گرفته می­ شود، اولین بار توسط لوتیسکی و شاکوزیان (۱۹۵۴) مطرح گردید]۲[. در آن زمان این روش برای سنتز تابع تولید مکانیزم­ های فضایی RSSR وRSSP با بهره گرفتن از یک سیستم خطی برای معادلات و تعداد محدودی نقاط طراحی بکار گرفته شد. سپس هان^[۸] (۱۹۶۶) روش حداقل مربعات وزنی را با تعداد بیشتری از نقاط طراحی مطرح نمود]۵[. او روش خود را با مثال­هایی از سنتز تولید مسیر برای مکانیزم­ های صفحه ای توزیح داد. بعد از آن لوئیس^[۹] وجیری^[۱۰] ]۶[. نال^[۱۱] وهانت^[۱۲] (۱۹۷۱) روشی را برای سنتز مسیر مکانیزم­ های چهار میله­ای و شش میله­ای بکار گرفتند. در حالی که سارکیسان^[۱۳]، کوپتا^[۱۴] و راس^[۱۵] (۱۹۷۳) روش حداقل مربعات را برای پیدا نمودن مکان هندسی نقاط در یک صفحه متحرک که یک دایره را با حداقل خطا تقریب می زد، پیشنهاد کردند]۷[.
روش حداقل مربعات که یک رابطه بین روش نیوتن و روش گرادیان است، توسط چن^[۱۶] و چان^[۱۷] (۱۹۷۴) برای سنتز صفحه­ای و فضایی تولید تابع مطرح شد]۸[. مسائل سنتز با قیود تساوی (معادلات سازگاری) نیز در آن زمان حل شدند. لوتیسکی و سارکیسان (۱۹۶۸) روش لاگرانژ را برای مسائل مقید و صفحه­ای تولید تابع بکار گرفتند. هرچند آنها مقدار ضریب در روش لاگرانژ را بر مبنای اینکه این ضرایب بسیار کوچک است صفر در نظر گرفتند ولی این فرض عمومی نبود و می­توانست کاملا اشتباه باشد.
سوترلند^[۱۸] و راس (۱۹۷۵) روشی را مطرح کردند که بتوان این عیب را برطرف کند]۹[. آنها ثابت کردند که مقدار مطلق  و  ضرورتا در حالت کلی مقدار ناچیزی نیست و با بهره گرفتن از تقریب تیلور، خطای ساختاری مکانیزم را به طور مستقیم در تابع هدف در نظر گرفتند و بر اساس آن تابع هدف را حل نمودند. آنها همچنین خطای مکانیکی را در یک رابطه و تابع هدف به صورت یک تابع ترکیب شده در مسائل بهینه سازی در نظر گرفتند.
یک روش خطی توسط بکسی^[۱۹] و لی^[۲۰] (۱۹۷۵) در کنترل مسائل سنتز برای تولید مسیر و هدایت جسم صلب با رابطه حداقل مربعات به کار گرفته شد]۱۰[. آنها با معرفی یک رابطه خطی که حرکت عضو واسط را با زاویه ورودی و زاویه بین عضو واسط و خط مرجع را توصیف می­ کند، موفق به انجام این کار شدند. قیود سازگار نیز در شکل خطی بکار گرفته می­شوند. بنابراین حل بهینه بدون نیاز به تکرار حاصل می­گردد. این روش بعدها برای حل مسئله چهار­ میله­ای تولید تابع و همچنین سنتز مسیر و هدایت جسم صلب مکانیزم­ های صفحه­ای چند حلقه­ای بکار گرفته­شد. اما بحث از زمانی آغاز شد که مقاله­ سوترلند منتشر شد و در آن ادعا شد که فرضیات اولیه در روش خطی بکسی قابل پذیرش نمی ­باشد و با ارائه چند مثال، نادرستی مسائل با آن فرضیات را نشان داد. اما تحقیقات بر روی روش­های خطی ادامه داشت (بکسی ۱۹۸۱) و تمام تلاش­ها بر آن بود تا ثابت کند که روش ارائه شده همچنان از اعتبار برخوردار می­باشد.
بعد از آن چنگ و کوپتا (۱۹۸۸) مقاله خود را منتشر کردند که در آن روش حداقل مربعات به دو بخش اساسی تقسیم می­شد، ۱- بخش مستقیم ۲- بخش با تکرار و نشان دادند که روش خطی مربوط به بخش اول می­باشد. آنها چنین بیان داشتند که نقاط تکین معادلات نرمال شده و مقدار ضریب لاگرانژ بطور مستقیم بر کیفیت محاسبات اثر می­ گذارد.
در سال ۱۹۸۲ وایلد^[۲۱] روش حداقل مربعات را برای مسائل تولید تابع ارائه داد]۱۱[. او مسائل تولید تابع برای مکانیزم­ های صفحه­ای را با بهره گرفتن از معادله فرودشتین که از آنجا یک دسته از معادلات سنتز حاصل گردید، حل کرد. وایلد قابلیت روش حداقل مربعات را با روش نیتون-رافسون مقایسه کرد و نتیجه ­گیری مطلوبی را نیز ارائه نمود.
۱-۴-۲ مفاهیم کلی بهینه سازی
فرض کنید هدف این باشد که مقدار کمینه یک تابع پیچیده محاسبه شود. ساده­ترین و در عین حال ناکارامد ترین راه برای بدست آوردن این مقدار، روش سعی و خطا است. یعنی برای تک­تک نقطه­های فضای پاسخ محاسبه گردد. در پایان هم بهترین نقطه، به عنوان نقطه بهینه پذیرفته شود. روش دیگر، گزینش نقاطی با فاصله­های مساوی(توزیع یکنواخت) در فضای جستجو و بررسی آنها است. این روش­ها، روش­های هوشمندانه­ای نیستند، زیرا در هر مرحله از آن­ها اطلاعات بدست آمده از مراحل پیشین به کار گرفته نمی­ شود. برای هوشمندانه کردن این فرایند، می­توان در هر مرحله به کمک اطلاعاتی چون مشتق یا مقدار تابع در چند نقطه اطراف نقطه منتخب، از نقطه منتخب روی سطح تابع، گامی به سوی نقطه بهینه برداشت و با تکرار این روند به نقطه بهینه رسید.
بر اساس چگونگی جستجوی فضای متغیر­های تصمیم ­گیری نیز الگوریتم­های بهینه­سازی را می­توان به دو دسته اصلی روش­های مبتنی بر مشتق و روش­های جستجوی مستقیم^[۲۲] تقسیم ­بندی کرد. روش­های مبتنی بر مشتق، از مشتقات تابع هدف برای حل مسائل بهینه­سازی استفاده می­ کنند. این نوع روش­ها، کاملا به ویژگی هایی از مسئله مانند مشتق­پذیر بودن یا دست کم پیوسته بودن توابع هدف وابسته­اند. این مسئله، بکارگیری این روش ها را محدود می کند زیرا گروه بزرگی از این مسائل، شرایط مورد نیاز این روش­ها را ندارند. اما در صورت برآورده شدن شرایط لازم، الگوریتم خیلی سریع به پاسخ همگرا می­ شود. از جمله روش­های مبتنی بر مشتق که به اطلاعاتی از تابع هدف ماننده مشتق وابسته­اند می­توان به روش شبه نیوتن^[۲۳] ، کاهش گرادیان^[۲۴] ،BFGS^[25] ،DFP^[26] اشاره نمود. ضعف دیگر روش­های مبتنی بر مشتق اینست که پاسخ این روش ها به شدت به نقطه آغاز جستجو وابسته است. به همین دلیل، هنگامی که در فضای جستجو با وجود تعدادی نقطه بهینه محلی^[۲۷] ، الگوریتم معمولا در این نقاط گرفتار شده و قادر به یافتن نقطه بهینه عمومی^[۲۸] نمی ­باشد. همچنین اگر تابع هدف به شکل صریح قابل بیان نباشد و یا تابع هدف مشتق پذیر نباشد، نمی­ توان از این نوع روش­ها برای حل مسائل استفاده نمود]۱۲[. بر خلاف روش­های مبتنی بر مشتق، پاسخ روش­های جستجوی مستقیم چندان به نقطه آغاز جستجو وابسته نمی ­باشد. همچنین در این روش­ها شرایط خاصی برای تابع هدف در نظر گرفته نمی­ شود، اما بدلیل آنکه کمیت­هایی ماننده مشتق تابع هدف را بکار نمی­گیرند، سرعت همگرایی آنها در مسائلی که توسط هر دو روش قابل حل هستند، کمتر می­باشد. روش­های جستجوی مستقیم در حالت کلی به دو دسته هوشمند و غیر هوشمند تقسیم می­ شود]۱۳[. روش جستجوی تصادفی^[۲۹]، که از ابتدایی ترین الگوریتم­ها است، در دسته­بندی روش­های جستجوی مستقیم غیرهوشمند قرار می­گیرد]۱۳[. در این روش فضای متغیر طراحی به صورت تصادفی جستجو می­ شود و نقطه­ای با مقدار اکسترمم به عنوان نقطه بهینه انتخاب می­ شود. این روش برای مسائلی با فضای جستجوی بزرگ مناسب نمی ­باشد. روش جستجوی پخشی^[۳۰]، از دیگر روش­های جستجوی هوشمند می­باشند که با تعریف شدن سه حافظه کوتاه مدت، میان مدت و بلند مدت در این روش، در هر تکرار به سمت نقطه بهینه سوق می­یابند]۱۴[. الگوریتم های تکاملی^[۳۱]، الگوریتم تجمعی ذره، سیستم ایمنی مصنوعی^[۳۲]، الگوریتم تکامل تفاضلی^[۳۳] از جمله روش­های جستجوی هوشمند می­باشند . این الگوریتم­ها برای یافتن مقدار بهینه، دسته­ای از مقادیر را بر می­گزبنند. سپس با انجام فرایندهایی بر روی جمعیت که از طبیعت الگو برداری شده ­اند، کم­کم آن­ها را طوری تغییر می­ دهند که به مقدار بهینه برسند. یک الگوریتم تکاملی، هر مسئله بهینه­سازی را مانند یک مسئله تکامل می­نگرد و با انجام فرایند تکامل برروی جمعیت به مقدار بهینه می رسد.
بر خلاف روش­هایی که از مشتقات تابع برای بهینه سازی استفاده می کنند، الگوریتم های جستجوی مستقیم هوشمند، از مقدار تابع بهره گرفته و نیازی به مشتق­های آن ندارند. همچنین روش­های مبتنی بر مشتق از یک نقطه اولیه برای یافتن جواب یاری می­گیرند و در هر اجرا فقط یک پاسخ را بر می­گردانند، ولی الگوریتم های جستجوی مستقیم هوشمند با بهره مندی از جمعیتی از نقاط اولیه، از احتمال به دام افتادن در نقاط بهینه محلی می­کاهند]۱۲[.
روش تجمعی ذره که در این پژوهش از آن از استفاده شده است، الگوریتمی ابتکاری و پیشرفته از مجموعه روش­های جستجوی هوشمند می­باشدکه از شبیه سازی سیستم ساده شده رفتار موجودات اجتماعی ماننده پرندگان بر گرفته شده است. این روش به عنوان یک روش مقاوم در حل مسائل بهینه سازی غیرخطی پیوسته شناخته شده است]۱۵و۱۶[. این روش نسبت به سایر روش های آماری، همگرایی دقیق تر،سریع تر و پایدارتری ارائه می دهد]۱۷و۱۸[. در سال­های اخیر، این روش به طور گسترده مورد بررسی و مطالعه قرار گرفته است. نتایج حاصل نشان می­دهد که روش مذکور می ­تواند با سایر الگوریتم­های جستجوی مستقیم هوشمند مانند الگوریتم ژنتیک، رقابت کند]۱۹و۲۰[.
۱-۴-۳ فرمول بندی عمومی بهینه­سازی
با بکارگیری برنامه ­های محاسباتی، مسئله بهینه­سازی در حالت عمومی به شکل

می باشد با توجه به