(‏۳‑ ۴)

زیرا که .
همچنین کواریانس شرطی را نیز به راحتی می‌توان نشان داد که صفر است:

(‏۳‑ ۵)

مدل‌های ARCH می‌تواند توسط روش‌های GLS و حداکثر درست نمایی برآورد شوند.

مدل GARCH

مدل GARCH اولین بار توسط بلرسلف^[۵۴](۱۹۸۶) به صورت تعمیمی بر روش پایه‌ای مدل ARCH، توسعه یافت که در نتیجه آن توانست با تعداد پارامترهای کمتری مدل‌سازی مورد نظر را انجام دهد. قابل ذکر است رابطه ARCH با GARCH همانند رابطه AR باARMA می‌باشد. کاربرد اولیه مورد نظر بنیانگذاران این روش‌ها، مدل‌سازی سری‌های زمانی مربوط به فرایندهای اقتصادی همانند نرخ بهره، نرخ ارز و … بود.
پس از آشنایی کلی با مدل‌های ناپایدار و نیز نمونه تعمیم‌یافته GARCH، در ادامه به روابط ریاضی حاکم بر این مدل پرداخته می‌شود.
یک فرایند (GARCH(p,q می‌تواند به صورت زیر بیان شود:

(‏۳‑ ۶)

در این حالت واریانس شرطی u، به q تعداد وقفه‌های واریانس شرطی(وقفه‌های ) و به p تعداد وقفه‌های مربع جمله‌ی خطا(وقفه‌های ) بستگی دارد. ضرایب و به ترتیب، ضرایب ARCH و GARCH نامیده می‌شوند.
در این صورت مدل ساده‌ی GARCH(1,1) به صورت زیر خواهد بود:

(‏۳‑ ۷)

معادله‌ فوق نشان می‌دهد که واریانس شرطی u در زمان t نه تنها به مربع جمله‌ی خطا در دوره‌ی گذشته بستگی دارد(مشابه ARCH(1)) بلکه همچنین به واریانس شرطی دوره‌ی قبل نیز وابسته است.

شبکه‌ی عصبی

تاریخچه

از حدود سال ۱۹۴۰ به طور همزمان امّا جداگانه، از سویی نوروفیزیولوژیست‌ها سعی می‌کردند سیستم یادگیری و تجزیه و تحلیل مغز را کشف کنند و از سویی ریاضیدانان تلاش می‌کردند تا مدل ریاضی بسازند که قابلیت فراگیری و تجزیه تحلیل عمومی مسائل را دارا باشد. از آن زمان، بارها این اتفاق افتاد که ریاضیدانان یافته‌های نوروفیزیولوژیست‌ها را پیاده‌سازی کردند، بدون این که بدانند چرا، و در عمل مشاهده کردند که سیستم پیاده شده کارایی شگفت انگیز سیستم طبیعی را دارد. پس از آن توانستند منطق زیربنایی سیستم طبیعی را درک کنند. اگر چه از همان ابتدا، ریاضیدانان توانسته بودند مدل ریاضی یک سلول عصبی یا نرون را بسازند، امّا تا حدود ۱۹۷۴ دانش مربوط به نوع اتصال این واحدهای شبه نرونی به یکدیگر تکامل لازم را نیافته بود. امروزه برنامه‌های کاربردی متعددی در دسترس هستند که با این روش کار می‌کنند. اگر چه کاربرد این برنامه‌ها به ویژه برای افراد عادی کمی مشکل است، امّا محققین روز به روز، بیشتر و بیشتر آنها را به کار می‌گیرند. برای تجزیه و تحلیل یک سیستم پیچیده به وسیله روش شبکه‌های عصبی، نیاز به دانش زیادی درباره سیستم مورد مطالعه نمی‌باشد، چون عمل تجزیه و تحلیل و یادگیری در مغز شبکه اتفاق می‌افتد نه در مغز محقق، امّا به هر حال بهره‌گیری از دانش کلی درباره روش‌کار این شبکه‌ها برای کاربران آنها ضروری است، چرا که تنظیمات ساده و کلی در این برنامه‌ها وجود دارند که آگاهی از آنها برای ساختن یک مدل موفق ضروری است.

شبکه‌های عصبی مصنوعی در واقع مثلثی هستند که ۳ ضلع مفهومی دارند:
سیستم تجزیه و تحلیل داده‌ها؛
نرون یا سلول عصبی؛
شبکه یا قانون کار گروهی نرون‌ها؛
با توجه به تعریف کلاسیک، شبکه عصبی عبارت است از مجموعه‌ای عظیم از پردازشگرهای موازی که استعداد ذاتی برای ذخیره اطلاعات تجربی و به کارگیری آن‌ها را دارند و این شبکه دست کم از دو نظر شبیه مغز انسان است:
مرحله‌ای موسوم به یادگیری دارد.
وزن‌های سیناپسی جهت ذخیره دانش به کار می‌روند.