۲.۱- مروری بر کارهای گذشته:
جابجایی آزاد بدلیل کاربرد گستردهی که در صنعت و در محیط پیرامون بشر دارد بسیار مورد توجه قرار گرفته است. از طرفی با توجه به معادلات پارهای حاکم بر این پدیده و مشکل بودن ارائه یک حل تحلیلی برای معادلات حاکم بر این جریان، بشر مجبور به استفاده از روش های عددی برای حل این جریان شده است. از طرفی، حل عددی معادلات حاکم بر جابجایی آزاد دارای پیچیدگیهایی است. علت این امر وابسته بودن معادلهی مومنتم به معادلهی انرژی از طریق نیروی بویانسی است و بنابراین میبایست معادلهی انرژی و مومنتم باید همزمان حل شوند. از طرفی یکی از عوامل اثر گذار در پیچیدهتر شدن معادلات هندسهی است که جریان بر روی بررسی میشود. به عنوان مثال جریان بر روی کره نسبت به جریان برروی هندسههای چون صفحات اعم از افقی، عمودی یا مایل و حتی استوانههای با همین وضعیت پیچیدهتر میباشد.

در ادامه تعدادی از تحقیقاتی که جریان بر روی هندسههایی چون کره را بررسی کردهاند، معرفی میشوند. گارنر و گرفتن ]۱[ به بررسی اثر انتقال جرم بر روی کرهی غیر متخلخل پرداختند. آماتو و چی ]۲[ به بررسی اثر جابجایی آزاد اطراف کرهی غوطهور در آب پرداختند. برومهام و میهو]۳[ جریان جابجایی آزاد هوا را بر روی کره بررسی کردند. گیولا و کورنیش ]۴[ با بهره گرفتن از روش عددی تفاضل محدود^[۱۰] به بررسی جریان و انتقال حرارت اطراف کره پرداختند. سینگاه و حسن ]۵[ به بررسی جریان جابجایی آزاد در اطراف کره با گراشفهای پایین پرداختند. هیوانگ و چن ]۶[با بهره گرفتن از روش عددی تفاضل محدود اثر مکش و دمش بر روی کره را بررسی کردند. چن و چن ]۷[جریان جابجایی آزاد سیال غیرنیوتنی اطراف کره و استوانه با بهره گرفتن از روش رانگ کوتا^[۱۱] مرتبهی چهار مورد مطالعه قرار دادند. جعفرپور و یووانوویچ ]۸[ با بهره گرفتن از سریها یک حل نیمه تحلیلی برای جریان جابجایی آزاد بر روی کرهی همدما ارائه دادند. جیا و گوگس ]۹[ جریان جابجایی آزاد اطراف کرهی همدما را بررسی کردند. نظر و همکاران ]۱۰[جریان جابجایی آزاد سیال میکروپولار^[۱۲] در اطراف کره با شار ثابت مطالعه کردند. ایشان با استفاده روش عددی کلرباکس^[۱۳] به حل این مساله پرداختند. نظر و همکاران ]۱۱[ در ادامه کار قبل جریان جابجایی آزاد سیال میکروپولار در اطراف کرهی همدما با بهره گرفتن از همان روش قبل بررسی کردند. مولا و همکاران ]۱۲[ به بررسی اثر تولید حرارت بر جریان جابجایی آزاد در میدان مغناطیسی اطراف کره پرداختند. چنگ ]۱۳[ انتقال حرارت و انتقال جرم جریان جابجایی آزاد اطراف کره در مجاورت سیال میکروپولار را با بهره گرفتن از روش جمعآوری اسپیلاین مکعبی^[۱۴] بررسی کرد. بگ و همکاران ]۱۴[ به بررسی اثر جذب و تولید حرارت بر جابجایی آزاد اطراف کره درون میدان مغناطیسی که در محیط متخلخلی قرار دارد، پرداختهاند.
تمامی تحقیقات بیان شده، جریان جابجایی آزاد اطراف کره در حالت دایم را بررسی کردهاند. با توجه به اهمیت جریان در مدت زمانی که جریان به حالت دایم برسد و واقعیتر بودن جریان گذرا این جریان مورد توجه پژوهشگرانی واقع شد. از جمله تحقیقاتی عددی یا آزمایشگاهی که جریان خارجی گذرا بر روی هندسههای مختلف بررسی کردهاند، میتوان به کارهای ]۱۵-۲۳[ اشاره کرد. از جمله پژوهشهایی که به بررسی جریان جابجایی آزاد گذرا اطراف هندسههایی همچون کره پرداختهاند میتوان به کارهای پژوهشگران زیر اشاره کرد. اینگهام و همکاران ]۲۴[ به بررسی جریان جابجایی آزاد گذرا اطراف سطوح همدمای سه بعدی در گراشفهای بالا پرداختند. یان و همکاران ]۲۵[ به بررسی جریان جابجایی آزاد گذرا اطراف کره در محیط متخلخل دارسی پرداختند و از روش تفاضل محدود برای مدلسازی خود استفاده کردند. سانو و مکینزو ]۲۶[ جریان جابجایی گذرا را اطراف کره در محیط متخلخل در پکلتهای پایین بررسی کردند. تخر و همکاران ]۲۷[ به بررسی جریان جابجایی آزاد گذرا اطراف کرهی چرخنده در سیال پرداختند و برای حل این مساله از تفاضل محدود کمک گرفتند. سلوتی و همکاران ]۲۸[ به بررسی جریان جابجایی آزاد گذرا اطراف نقطهی سکون جسم سه بعدی که توسط سیالی خنک میگردد، پرداختند. نیازمند و رینکسیزبولیت ]۲۹[ به بررسی اثر دمش بر روی کرهی چرخنده در سیال پرداختند. آنان از حجم محدود برای حل مسالهی مذکور استفاده کردند. چن ]۳۰[ به بررسی جابجایی آزاد گذرا در مابین کرهی هم مرکز و خارج از مرکز با بهره گرفتن از روش تفاضل محدود پرداخت. سم اس و ازترک ]۳۱[ به مدلسازی جریان جابجایی اجباری اطراف قطرات سوخت در حالت گذرا پرداختند. ایشان در این مدلسازی قطرات را با کرههای همدما مدل کردند و با کمک سریها این مساله را حل کردند. ینگ و همکارن ]۳۲[ به بررسی جریان جابجایی آزاد گذرا اطراف کرهی همدما پرداختند، ایشان برای حل این مساله از روش حجم محدود استفاده کردند. سایتو و همکاران ]۳۳[ به بررسی جریان جابجایی آزاد گذرا اطراف کره با شار ثابت پرداختند و از روش حجم محدود برای مدلسازی استفاده کردند. ژو و همکاران ]۳۴[ با بهره گرفتن از روش هام^[۱۵] به ارائه جوابی نیمه تحلیلی برای برای جریان جابجایی آزاد گذرا اطراف سطوح خمیدهی سهبعدی پرداختهاند.
از طرفی اثر جریان جابجایی آزاد تحت میدان مغناطیسی مورد توجه پژوهشهای بسیاری با گرایش ژیوفیزیک واخترفیزیک شده است. چنین مسالهی در بررسی فرمولهای ژیوفیزیکی، اکتشاف و استحصال نفت، مراکز نگهداری زبالههای زیر زمینی و … میباشد. از طرفی جریانهای مگنتوهیدرودینامیک^[۱۶] در مسایل مهندسی مثل سرمایش ژنراتورها، طراحی مبدلهای حرارتی، سرمایش راکتورهای هستهی با سدیم مایع، جریان سنجهای القایی که بر اساس تفاضل پتانسیلی عمود بر جهت حرکت جریان در سیال و میدان مغناطیسی کار میکنند،کاربرد دارند. پژوهشگران ]۳۵-۳۸[ از جمله پژوهشگرانی هستند که اثر میدان مغناطیسی بر جریان دایم روی هندسه های مختلف را بررسی کردهاند. در زمینهی اثر میدان مغناطیسی بر جابجایی آزاد گذرا میتوان به کارهای زیر اشاره کرد. هلمی]۳۹[ به مطالعهی جریان جابجایی آزاد گذرا در محیط متخلخل بر روی صفحهی عمودی با دمای ثابت با بهره گرفتن از روش تفاضل محدود پرداخت. تخر ]۴۰[ به مطالعه جریان جابجایی مرکب بر روی مخروط چرخنده با سرعت زاویهی متناسب با زمان در حضور میدان مغناطیسی پرداخت. وی از تفاضل محدود برای حل عددی خویش استفاده کرد. گانسن و پلانی ]۴۱[ جریان جابجایی آزاد بر روی صفحهی نیمه بی نهایت عمودی درمیدان مغناطیسی را با بهره گرفتن از تفاضل محدود بررسی کردند. گانسن و پلانی ]۴۲[ مساله انتقال حرارت و انتقال جرم جریان جابجایی آزاد گذرنده از روی یک صفحهی شیبدار با بهره گرفتن از تفاضل محدود را بررسی کردند. روی و انیکامور ]۴۳[ به بررسی جابجایی مرکب گذرا از مخروط دوار که سرعت زاویهی آن متناسب با زمان تغییر میکند، پرداختند و در این حل از روش عددی تفاضل محدود کمک گرفتند. جردن ]۴۴[ اثر اتلافات ویسکوز و تشعشع بر جریان جابجایی آزاد گذرا از روی صفحهی نیمه بینهایت عمودی مورد مطالعه قرار داد. وی از روش شبیهسازی شبکه^[۱۷] استفاده کرد. ژو و همکاران ]۴۵[ جریان و انتقال حرارت گذرای درون لایهی مرزی سیال بر روی صفحهی تحت میدان مغناطیسی بررسی کردند. ایشان با بهره گرفتن از روش هام برای ارائه یک حل نیمه تحلیلی در رابطه با این مساله کمک گرفتند. الکبیر و همکاران ]۴۶[ به بررسی جریان جابجایی آزاد از روی سطح شیبدار درمحیط متخلخل تحت میدان مغناطیسی با بهره گرفتن از تحلیل لای گروپ^[۱۸] که یک روش نیمه تحلیلی برای حل معادلات پارهی است، پرداختند. دیناروند و همکاران ]۴۷[ اثر نیروی بویانسی و میدان مغناطیسی را بر جریان گذرای لایهی لزج اطراف نقطهی سکون کرهی چرخنده بررسی کردند. ایشان از روش هام برای حل این مساله کمک گرفتند.
اثر تولید حرارت در جریان سیال دارای حرکت در برخی از فرایندهای فیزیکی از اهمیت شایانی برخوردار است که از آن جمله می توان به فرایندهای که حاوی واکنش های شیمیایی می باشند اشاره کرد. این اثر بر روی توزیع دما و نرخ ته نشینی ذرات اثر میگذارد. که کاربرد این اثر را میتوان در کاربردهای مرتبط با راکتورهای هستهای، مدلسازی احتراق، چیپهای الکترونیکی و… مشاهده کرد. واجراولو و هاجینیکلو ]۴۸[ اثر اتلافات ویسکوز و تولید حرارت داخلی بر انتقال حرارت درون لایهی مرزی دایم بر روی صفحهی بینهایت را مورد مطالعه قرار دادند. در این تحقیق ایشان نرخ انتقال حرارت حجمی را به صورت تابع خطی با دما تقریب زدند.
همچنین ایشان در مقالهیشان گزارش دادهاند که تقریب خطی با دما در تقریب برخی از فرایندهای گرمازا معتبر است. سایر محققینی که در زیر به کارهای آنها اشاره میکنیم از جمله پژوهشگرانی هستند که بطور مستقیم و یا غیر مستقیم از مدل نرخ انتقال حرارت حجمی ]۴۸[ استفاده کردهاند. چمخواه ]۴۹[ اثر تشعشع و نیروی بویانسی را بر روی صفحهی مشبک با تولید و یا جذب حرارت بررسی کرد و از روش تفاضل محدود در حل این مساله استفاده کرد. یه ]۵۰[ به بررسی اثر تولید حرارت در محیط متخلخل اطراف کره مشبک درون میدان مغناطیسی همراه با اتلافات ویسکوز و اتلافات ژول پرداخت. ایشان روش حل خود را بر مبنای کلرباکس قرار دادند. کامل ]۵۱[ بحث انتقال حرارت و انتقال جرم گذرا بر روی صفحهی مشبک عمودی در محیط متخلخل تحت میدان مغناطیسی همرا با ترم تولید و جذب حرارت را مورد مطالعه قرار دادند. وی با بهره گرفتن از روش لاپلاس ترانسفورم^[۱۹] به ارائه یک حل تحلیلی برای مسالهی مذکور پرداخت. چمخواه ]۵۲[ جریان سیال تحت میدان مغناطیسی بر روی صفحهی عمودی با در نظر گرفتن تولید و جذب حرارت و واکنش شیمیایی مرتبهی اول را مورد مطالعه قرار داد. وی این مساله را کاملا تحلیلی حل میکند. ابوذهب و سالم ]۵۳[ جریان جابجایی آزاد سیال غیرنیوتنی در میدان مغناطیسی بر روی صفحه بررسی کردند. مولا و همکاران ]۵۴[ جریان جابجایی آزاد اطراف کرهی همدما درمیدان مغناطیسی با در نظر گرفتن تولید حرارت را بررسی کردند. ایشان از روش کلرباکس برای حل این مساله بهره گرفتند. مولا و همکاران ]۵۵[ در کار دیگری اثر تولید حرارت بر جریان جابجایی آزاد اطراف کره با شار ثابت در میدان مغناطیسی را بررسی کردند. روش حل در این مساله نیز کلرباکس انتخاب شده است. مولا و همکاران ]۵۶[ جریان جابجایی آزاد اطراف استوانهی افقی همدما را با در نظر گرفتن ترم تولید حرارت را بررسی کردند. ایشان از دو روش نیمه تحلیلی(سری) و عددی (بر مبنای تفاضل محدود) به مطالعهی جریان پرداختند. هادی و همکاران ]۵۷[ به بررسی اثر تولید و جذب حرارت بر جریان جابجایی آزاد گذرنده از یک صفحهی عمودی موجدار پرداختند. ایشان از رانگ-کوتا برای حل این مساله کمک گرفتند. عالم و همکاران ]۵۸[ اثر تولید حرارت در اطراف کرهی درون میدان مغناطیسی را مورد مطالعه قرار دادند. برای حل این مساله از کلرباکس کمک گرفتند. محمد و همکاران ]۵۹[ اثر تولید حرارت بر جریان سیال بر روی صفحه درون محیط متخلخل را بررسی کردند.ایشان از اصول المان محدود^[۲۰] برای حل مسالهی مذکور استفاده کردند. ابدالخالک ]۶۰[ اثر تولید حرارت بر جریات سیال درون محیط متخلخل تحت میدان مغناطیسی بر در حوالی نقطهی سکون اجسام دوبعدی را بررسی کرد. وی از روش اغتشاشات^[۲۱] برای حل این مساله کمک گرفت. مامون و همکاران ]۶۱[ اثر اتلافات ویسکوز و تولید حرارت را بر انتقال حرارت از صفحهی عمودی در سیال تحت میدان مغناطیسی را بررسی کردند. ایشان از روش کلرباکس برای حل این مساله کمک گرفتند. ابراهیم و همکاران ]۶۲[ مسالهی جریان جابجایی آزاد گذرا از صفحهی مشبک تحت میدان مغناطیسی همراه با واکنش شیمیایی و تولید حرارت را به صورت تحلیلی حل نمودند. مولا و همکاران ]۶۳[ جریان جابجایی آزاد اطراف استوانهی افقی شارثابت را با در نظر گرفتن ترم تولید حرارت را بررسی کردند. ایشان از دو روش نیمه تحلیلی(سری) و عددی (برمبنای تفاضل محدود) به مطالعهی جریان پرداختند.
در تحقیقات ذکر شده لزجت سیال ثابت در نظر گرفته شده است. واضح است که ثابت گرفتن لزجت سیال تنها فرضی به منظور سادهسازی معادلات میباشد و از لحاظ فیزیکی در اکثر قریب به اتفاق موارد این فرض صحیح نمیباشد. پس محققین به ناچار برای پیدا کردن حل دقیقتر و فیزیکیتر جریان به جستجوی مدلهایی برای پیشبینی تغییرات لزجت سیال افتادند. از طرفی با توجه به تغییرات شدیدتری که لزجت سیال با تغییرات دما نسبت به سایر پارامترها از خود نشان میدهد در بیشتر مدلهای در نظر گرفته شده تغییرات لزجت با دما را مشهودتر مورد بررسی قرار دادهاند. در نهایت مدلهای متفاوتی برای مدلسازی لزجت متغیر سیال در نظر گرفته شده است. که این مدلها بسته به نوع سیال و خواص فیزیکی آن با هم متفاوت هستند. از جملهی این مدلها میتوان به مدل تغییرات نمایی لزجت با دما که در پژوهشهای ]۶۴-۶۸[ و یا مدل تغییرات خطی لزجت با دما که در ]۶۹-۷۵[ بکار گرفته شده است اشاره کرد. مدل پرکاربرد دیگری که تغییرات لزجت با دما را به خوبی نشان میدهد و در اکثر پژوهشها از آن استفاده شده است، مدل تغییر لزجت با تابع معکوس خطی تغییرات دما است. از جمله کارهایی که در این زمینه انجام شده است میتوان به کارهای این پژوهشگران اشاره کرد. یاو و کاتن ]۷۶[ اثر ویسکوزیتهی متغیر بر لایهی مرزی آب را روی استوانهی افقی بررسی کردند. ایشان از تفاضل محدود در مدلسازی خود استفاده کردند. لینگ و دایب ]۷۷[ اثر تغییرات ویسکوزیته را بر جابجایی اجباری از روی صفحهی تخت درون محیط متخلخل را بررسی کردند. ایشان از جملهی اولین محققینی بودند که از این مدل برای طیف متنوعی از سیالات استفاده کردند و در مدل خود از تفاضل محدود استفاده کردند. کار ایشان الگوی سایر محقیقین برای مدل کردن تغییرات لزجت با دما قرار گرفت که در سایر کارهایی که در زیر به آنها اشاره میشود به طور مستقیم و یا غیر مستقیم از ]۷۷[ استفاده کردند. جایانثی و کوماری ]۷۸[ اثر ویسکوزیتهی متغیر را بر روی جابجایی آزاد و مرکب در محیط متخلخل بصورت عددی با بهره گرفتن از کلرباکس مورد مطالعه قرار دادند. چنگ ]۷۹[ اثر ویسکوزیتهی متغیر را بر جابجایی آزاد بر روی استوانهی افقی همدما را بررسی کرد. وی از روش مجموعهی اسپیلاین مکعبی برای حل این مساله استفاده کرد. مولا و حسین ]۸۰[ به بررسی اثر ویسکوزیتهی متغیر بر انتقال حرارت و انتقال جرم جابجایی آزاد از کرهی همدما با بهره گرفتن از کلرباکس پرداختند. افیفی ]۸۱[ به بررسی اثر ویسکوزیتهی متغیر بر جابجایی آزاد از روی صفحهی عمودی درون محیط متخلخل تحت میدان مغناطیسی پرداخت. وی از متد تفاضل محدود برای حل معادلات پارهای استفاده کرد. چین و همکارن ]۸۲[ اثر ویسکوزیتهی متغیر را بر روی جابجایی مرکب از صفحهی عمودی درون محیط متخلخل بررسی کردند. ایشان برای حل معادلات لایهی مرزی از روش تفاضل محدود کمک گرفتند. چنگ ]۸۳[ با بهره گرفتن از روش مجموعهی اسپیلاین مکعبی به بررسی اثر ویسکوزیتهی متغیر بر جریان روی مخروط ناقص عمودی که در محیط متخلخل قرار دارد، پرداخت. احمد و همکاران ]۸۴[ با بهره گرفتن از روش کلرباکس به حل معادلات پارهی لایهی مرزی جریان جابجایی مرکب اطراف استوانهی همدمای افقی با ویسکوزیتهی متغیر با دما پرداختند.
از طرف دیگر ثابت گرفتن هدایت حرارتی سیال فرضی به منظور سادهسازی معادلات حاکم بر جریان میباشد و با یک سری فرضیات این تقریب میتواند درست باشد اما از لحاظ فیزیکی در قریب به اتفاق موارد این فرض صحیح نمیباشد. پس محققین برای بدست آوردن حل فیزیکیتر جریان سعی در به دست آوردن مدلی به منظور تعیین تغییرات هدایت حرارتی سیال با دما کردند. از جمله مدلی که در این پیش بینی بسیار توسط محققین بکار گرفته شده است، مدل تغییر هدایت حرارتی سیال با دما به صورت خطی میباشد که سلاتری ]۸۵[ برای طیف وسیعی از سیالات آنرا پیشنهاد میدهد.
از جمله کارهای که بدنبال این محقق از این رابطه استفاده کردهاند بدین شرح است. حسین و همکاران ]۸۶[ به بررسی اثر لزجت متغیر و هدایت حرارتی متغیر با دما بر جریان لزج غیرقابل تراکم بر روی گوهی تحت شار ثابت پرداختند، ایشان از تفاضل محدود در حل معادلات لایهی مرزی کمک گرفتند. حسین و همکاران ]۸۷[ اثر لزجت و هدایت حرارتی متغیر را بر جریان جابجایی آزاد بر روی مخروط عمودی موجی مورد مطالعه قرار دادند و از روش کلرباکس در حل معادلات لایهی مرزی استفاده کردند. البربری و الغزاری ]۸۸[ با بهره گرفتن از روش تفاضل محدود چبشفی^[۲۲] اثر تشعشع لزجت و هدایت متغیر با دما را بر انتقال حرارت از دیواره متحرک را بررسی کردند. اودا و فرهان ]۸۹[ اثر مشخصات فیزیکی متغیر بر سیال میکروپولار عبورکننده از صفحهی مشبک بررسی کردند. ایشان از تفاضل محدود چبشفی استفاده کردند. داندوپات و همکاران ]۹۰[ اثر لزجت و هدایت حرارتی متغیر با دما را بر روی فیلمی از سیال که بر روی صفحه قرار دارد را بررسی کرد. سالم ]۹۱[ اثر لزجت و هدایت حرارتی متغیر با دما و تولید و جذب حرارت و اتلافات ویسکوز را بر روی جریان سیال ویسکوالاستیک^[۲۳] بر روی صفحه را مورد مطالعه قرار داد. وی از رانگ کوتا مرتبهی چهار برای حل این مساله کمک گرفت. صدیق و سلما ]۹۲[ جریان جابجایی گذرا تحت میدان مغناطیسی بر روی صفحهی عمودی مشبک با در نظر گرفتن لزجت و هدایت حرارتی متغیر با دما مورد بررسی قرار دادند. ایشان این مساله را از طریق روش اغتشاشات معادلات پارهای را به صورت معادلات معمولی تبدیل کرده و آنگاه به صورت عددی آن را حل نمودند. شارما و سینگه ]۹۳[ اثر مشخصات لزجت و هدایت حرارتی متغیر با دما را بر جریان روی صفحهی درون میدان مغناطیسی بررسی کردند. ایشان با کمک روش رانگ کوتای مرتبهی چهار به حل این مساله پرداختند. شوباس آول و همکاران ]۹۴[ اثر هدایت حرارتی متغیر با دما را بر جریان سیال غیر نیوتنی بر روی صفحهی درون میدان مغناطیسی با منبع حرارتی غیر یکنواخت را بررسی کردند. ایشان اثرات دو شرط مرزی متفاوت را به صورت عددی در این مقاله بررسی کردند. تسای و همکاران ]۹۵[ اثر اتلافات اهمی و لزجت و هدایت حرارتی متغیر با دما را بر جریان سیال بر روی صفحه در میدان مغناطیسی با بهره گرفتن از روش تفاضل محدود چبشفی^[۲۴] بررسی کردند.
از طرفی با توجه به عدم حل تحلیلی مسایل، میبایست معادلات پارهای مربوطه را به صورت عددی،حل نمود. معادلات پارهای مربوط به مسایل گذرا علاوه بر متغیر مکانی، متغیر زمانی نیز دارند بنابراین گسستهسازی معادلات پارهی زمانمند را میتوان به دو بخش تقسیم کرد، گسستهسازی مکانی و گسستهسازی زمانی. در گسستهسازی مکانی معمولا محققان به سراغ روش های مرتبهی پایین رفتهاند. این درحالی است که روش های مرتبه پایین برای بدست آوردن دقت کافی در محاسبات نیازمند تعداد گره های محاسباتی بسیاری میباشند. در حالی که در روش های مرتبه بالا، حتی با بهره گرفتن از تعداد گره های محاسباتی کم نیز، نتایج عددی از دقت خوبی برخوردار است. روش مربعات دیفرانسیل از جملهی همین روش های مرتبهی بالا میباشد که نخستین بار توسط بلمن و همکاران ]۹۶ [ ارائه شد. بلمن و همکاران ]۹۷[ دو روش را در تعیین ضرایب وزنی برای مشتق مرتبهی اول ارائه کردند. اولین روش دستگاه معادلات جبری را حل میکرد. در حالی که روش دوم با بهره گرفتن از فرمول جبری ساده به تعیین توابع وزنی میپرداخت. اما در این روش مختصات گرهها ثابت بود و توسط ریشه های چند جملهای لژاندر انتقال یافته صورت میگرفت. در کارهایی که در سالهای اولیه در مسایل مهندسی از روش مربعات دیفرانسیل استفاده میکردند ]۹۸-۱۱۳[، از تقریبهای بهره میگرفتند که از این میان روش اول بیشتر مورد استفاده قرار می گرفت که علت این امر انتخاب آزادانهی گرهها بود. متاسفانه، وقتی که مرتبهی سیستم معادلات جبری بزرگ میشود، ماتریس بدوضع میگردد. بنابراین در این حالت مشکلات بسیاری در بدست آوردن ضرایب وزنی وجود دارد. به همین دلیل حداکثر تعداد گره های محاسباتی درکارهای اولیه ۱۳ عدد بوده است. به دلیل همین محدودیتها این روش تا سالیان متمادی مورد توجه محققین قرار نگرفت. تا اینکه شو و همکاران ]۱۱۴-۱۱۹ [اثبات کردند که تمامی روش های تعیین ضرایب وزنی یکی هستند و همهی آنها زیر مجموعهی حالت کلی میباشند که به عنوان تقریب کلی شو شناخته میشوند. در تقریب کلی شو، ضرایب وزنی مشتق مرتبهی اول با بهره گرفتن از فرمول جبری سادهی تعیین میشود بدون اینکه هیچگونه محدودیتی بر انتخاب گره های محاسباتی وجود داشته باشد. از طرفی ضرایب وزنی مشتقهای بالاتر با بهره گرفتن از فرمول بازگشتیای به سادگی تعیین میشوند. این روش در دامنههای منظم قادر به بدست آوردن جوابهای عددی با دقت بسیار زیاد اما با تعداد گره های کم و هزینه محاسباتی پایین میباشد]۱۱۹[. برطرف شدن محدودیتهایی که در محاسبهی ضرایب وزنی قرار داشت، منجر به معرفی روش مربعات دیفرانسیل بهعنوان ابزاری قدرتمند در دههی اخیر شده است. در مسایل سازه‏ای وارتعاشات از روش مربعات دیفرانسیل بطور گسترده‏ای استفاده شده است. سیواک ]۱۲۰[کمانش، خمش و ارتعاشات آزاد ورق های نازک با بهره گرفتن از روش مربعات دیفرانسیل مورد بررسی قرار دادند. ونگ و همکاران]۱۲۱[ ارتعاشات ورقهای نازک تحت تنشهای صفحهای خطی با بهره گرفتن از مربعات دیفرانسیل بررسی کردند. ملکزاده و همکاران ]۱۲۲[ به بررسی ارتعاشات آزاد پوستههای سیلندری مدور لایهای با بهره گرفتن از این روش پرداختند. کی و همکاران ]۱۲۳[ با بهره گرفتن از این روش ارتعاشات غیرخطی نانوتیوبهای دوجدارهی کربنی را مطالعه کردند. همچنین این روش برای حل عددی معادلات ناویر-استوکس غیرقابل‏تراکم دوبعدی، با بهره گرفتن از روابط ورتیسیتی- تابع جریان (  ) در دامنه‏های منظم و با بهره گرفتن از نگاشت‏ها در دامنه‏های نامنظم، بطور موثر و با راندمان محاسباتی بالا بکار گرفته شده است]۱۲۴-۱۳۰[. اما به‏هر‏حال، بدلیل عدم وجود یک رابطه انتقال برای فشار و یا یک رابطه برای فشار در معادلات ناویر-استوکس غیرقابل‏تراکم با متغیرهای اولیه و همچنین عدم وجود یک مکانیزم بالادستی^[۲۵] در این روش، روش مربعات دیفرانسیل با گستردگی زیاد برای حل عددی مسایل مرتبط با جریان سیال مورد استفاده قرار نگرفته است. اما برای حل این دومشکل کارهای بسیار خوبی انجام شده است]۱۳۱و۱۳۲[.
در مقایسه با گسستهسازی مکانی، توجهی کمتری نسبت به گسستهسازی زمانی انجام گرفته است. در اکثر مسایل گذرا که روش مربعات دیفرانسیل بر روی آنها اعمال شده است از مربعات دیفرانسیل برای گسستهسازی دامنهی مکانی استفاده شده است و از روش‏های مختلف تفاضل محدود در گسستهسازی دامنهی زمانی استفاده شده است. این روشها تحت عنوان روش های مربعات دیفرانسیل هیبریدی شناخته میشوند]۱۳۳و۱۳۴[. از جملهی مهمترین معایب روش های مربعات دیفرانسیل هیبریدی ناپایداری آنها است] ۱۳۵[. بنابراین محققان بفکر استفاده از روش های مربعات دیفرانسیل غیرهیبریدی افتادند، از جملهی بروزترین وکارآترین این روشها میتوان به ترکیب مربعات دیفرانسیل تکهای(IDQ) با مربعات دیفرانسیل(DQ) اشاره کرد. ایدهی روش مربعات دیفرانسیل تکهای در سال ۲۰۰۶ توسط هاشمی و همکاران ]۱۳۶ [ بکار گرفته شده است. ایشان از این مدل در بررسی امواج در آبهای کم عمق استفاده کردند. بدلیل نوپا بودن ایدهی این روش تعداد مقالاتی که در این زمینه است محدود است. ]۱۳۷-۱۳۹[ از این روش در انتقال حرارت هدایت گذرا استفاده کردند. این روش با تکه تکه کردن دامنهی محاسباتی بر زیر دامنهها و اعمال روش مربعات دیفرانسیل بر هر زیر دامنه به بالابردن کارایی این روش کمک شایانی میکند. این روش در مسایلی که گرادیان متغیرها در بازهی از دامنهی اصلی دارای تغییرات شدیدی باشد، از اهمیت ویژهای برخوردار است.
۳.۱- اهداف پایان نامه:
با توجه به اینکه بررسی لایهی مرزی جریان جابجایی آزاد گذرا اطراف کره کمتر توسط پژوهشگران بررسی شده است و با توجه به اهمیت و جذابیت این نوع جریان، در این پایان نامه به بررسی مسایل گوناگونی از این نوع جریان پرداخته شده است. این مسایل شامل حالتهای زیر است

• • جریان جابجایی آزاد گذرا اطراف کره با در نظر گرفتن میدان مغناطیسی

• • جریان جابجایی آزاد گذرا اطراف کره با در نظر گرفتن جذب و تولید حرارت

• • جریان جابجایی آزاد گذرا اطراف کره با در نظر گرفتن لزجت متغیر با دما

• • جریان جابجایی آزاد گذرا اطراف کره با در نظر گرفتن هدایت حرارتی متغیر با دما

برای بررسی این مسایل از روش DQ-IDQ به عنوان روشی بسیار کارامد و بهینه در حل مسایل لایه مرزی گذرا استفاده شده است. با توجه به اینکه تاکنون از این روش در حل مسایل جابجایی آزاد استفاده نشده است. این پایان نامه کارآمدی این روش در حل اینگونه جریانها را بهعنوان هدف ثانویه دنبال میکند. بنابراین ابتدا کارایی این روش برای جریانهای لایهی مرزی جابجایی طبیعی بررسی میگردد، سپس کارایی روش مربعات دیفرانسیل تکهای به عنوان روش مربعات دیفرانسیل غیرهیبریدی بررسی شده است. پس از بررسی کارایی این روش در حل مسایل جریان جابجایی آزاد گذرا، مسایل مطرح شده از جریان جابجایی آزاد اطراف کره بررسی شده است.
فصل دوم:
روش مربعات دیفرانسیل
و
روش مربعات دیفرانسیل تکهای
۱.۲- مقدمه:
اکثر مسایل مهندسی بر اساس مجموعه معادلات دیفرانسیل پارهای با شرایط مرزی مناسب تعریف میشوند. در حالت کلی بدست آوردن حل تحلیلی برای این معادلات خیلی مشکل است. با توجه به نیاز بشر به حل این معادلات دیفرانسیل پارهای، نیاز به استفاده از روش های عددی بیش از پیش احساس میشود. برای مثال در طراحی یک هواپیما، به منحنی ضریب بالابرندگی (c_l) برحسب ضریب اصطکاکی (c_d) برای شکل ایرفویل داده شده نیاز است. مقادیر c_l و c_d از حل معادلات ناویر استوکس بدست میآیند.
شایان ذکر است که روش های گسستهسازی عددی بسیاری شناخته شدهاند که از آن میان میتوان به تفاضل محدود، المان محدود و حجم محدود اشاره کرد. روش تفاضل محدود بر مبنای بسط سری تیلور است در حالی که المان محدود بر مبنای اصول باقیماندههای وزنی است و حجم محدود مستقیما قوانین بقای فیزیکی را بر سلول محدودی اعمال میکند. اغلب شبیهسازیهای عددی در مسایل مهندسی با یکی از ۳ روش مذکور با تعداد گره های نسبتا زیادی انجام میشود. با وجودی که در حل عددی معادلات پارهای برخی مسایل فیزیکی، تنها به تعداد گره های محدودی بر روی دامنهی فیزیکی نیاز است. روش های مرتبه پایین برای رسیدن به دقت مطلوب خود به تعداد گره های خیلی بیشتری نیاز دارند. در نتیجه حافظهی مجازی بیشتر و محاسبات عددی بیشتر نیاز است. به نظر میرسد که این معایب روش های مرتبهی پایین را با انتخاب روش های مرتبه بالا بهبود بخشید. در حالت کلی مرتبهی خطای برش روش های مرتبه بالا، از مرتبهی بالاتری است. بنابراین برای اینکه به دقت مطلوب برسند فاصلهی بین گرهها در آنها را میتوان افزایش داد. در نتیجه این روشها قادر به حل مسایل با تعداد گره های کمتر هستند. از جملهی این روشها میتوان به روش مربعات دیفرانسیل اشاره کرد، این روش برگرفته شده از روش انتگراگیری مربعی میباشد. در این روش مشتق در یک راستای معین از تمامی گره های محاسباتی در این راستا اثر میپذیرد. میزان اثرپذیری گره های محاسباتی را ماتریس ضرایب وزنی تعیین میکند.
۲.۲- انتگرالگیری مربعی:
همانطور که ذکر شد ایدهی اولیهی روش مربعات دیفرانسیلی از انتگراگیری مربعی گرفته شده است. مسالهی که عموما در مهندسی و علوم مختلف با آن سروکار داریم  بر روی بازهی محدود  میباشد. اگر تابع F موجود باشد بنحوی که  باشد، آنگاه مقدار این انتگرال برابر است با F(b)-F(a) . متاسفانه در مسایل کاربردی بدست آوردن یک عبارت صریح برای F امری فوقالعاده مشکل است. درحقیقت، در برخی شرایط تنها مقادیر تابع f را در برخی نقاط گسسته داریم و تنها راه محاسبه این امر تقریبهای عددی میباشد. از طرف دیگر، انتگرال  نشان دهندهی سطح زیر نمودار  است که این مساله در شکل ۱.۲ نمایش داده شده است. بنابراین تخمین انتگرال هم ارز با محاسبهی سطح زیر نمودار است. با بهره گرفتن از این اصل، روش های عددی گوناگونی برای محاسبهی انتگرال عددی پیشنهاد داده شده است. در حالت کلی، انتگرال  را میتوان به صورت زیر تقریب زد:

که  ،  ، … و  ضرایب وزنی و  ،  ، … و  مقادیر تابع در نقاط گسستهی  ،  ، … و  هستند. معادلهی (۱.۲) معادلهی انتگرالگیری مربعی خوانده میشود. در این انتگرالگیری از کلیهی نقاط درون بازهی انتگرالگیری به منظور تخمین انتگرال در آن دامنه استفاده شده است.
در حالت کلی نقاط گسسته به گونهی انتخاب میشود تا توزیع یکنواختی داشته باشند. به عنوان مثال  و  که h طول گام خوانده میشود. تمامی قوانین مرسوم انتگرالگیری مربعی به صورت معادلهی (۱.۲) نوشته میشود. در ادامه دو حالت مخصوص این معادله آورده میشود.
الف) قانون ذوزنقه: برای این حالت ضرایب وزنی به صورت زیر انتخاب میشود:

ب) قانون سیمپسون  : برای این حالت ضرایب وزنی به صورت زیر انتخاب میشود:

۳.۲- مربعات دیفرانسیلی:
با فرض اینکه تابع  بر روی کل دامنه به اندازهی کافی هموار باشند. با توجه به ایدهی انتگرالگیری مربعی (۱.۲) بلمن و همکاران ]۹۷[ پیشنهاد کردند که مشتق مرتبهی اول تابع  نسبت به x در گرهی x_i ام با بهره گرفتن از مجموع حاصلضرب مقادیر تابع در ضرایب وزنی مرتبط با آن گره در تمام گره های آن دامنه محاسبه کرد.