با بهره گرفتن از نامساوی زیر: (برای  نامنفی و  )

.□
یک نتیجه از قوانین ترکیبی فوق، به شرح زیر است:
نتیجه ۲-۲-۱: اگر  یک چند وجهی محدب که توسط مجموعه‌ای از نامساویهای خطی که در شرایط اسلا‌تر صدق می‌کند تعریف شده است.

آن‌گاه مانع لگاریتمی استاندارد Gروی ناحیه درونیG ، خود هماهنگ است.

برهان: از شرایط اسلا‌تر داریم:

چون تابع  روی محور مثبت‌ها، خود هماهنگ است، هر تابع  روی  خود هماهنگ است (قسمت (الف) گزاره۲-۲-۱) و  روی  خود هماهنگ است (قسمت (ب) گزاره۲-۲-۱) .□
علی رغم سادگی فوق العاده مانع لگاریتمی استاندارد، این واقعیت وجود دارد که مسئول ۵۰% نتایج چند جمله‌ای زمان در برنامه ریزی خطی است.
حال به بررسی سیستماتیک خواص توابع خود هماهنگ، با هدف تجزیه و تحلیل رفتار روش نیوتن، می‌پردازیم.
۲-۳ .خواص توابع خود هماهنگ :
اگرQ دامنه باز و محدب در  باشد وF رویQ خود هماهنگ باشد. برای  تعریف می‌کنیم:

که  یک نیم نرم اقلیدسی روی E است و یک نرم است اگر و تنها اگر  نامنفرد باشد.
۱-نامساوی اساسی : برای هر  و هر سه تایی  داریم :

۲-رفتار در بیضی دیکن^[۱۹]: برای  ، بیضی دیکن باز به مرکزx و شعاع r به صورت مجموعه زیر تعریف می‌کنیم:

و بیضی دیکن بسته عبارتست از:

بیضی واحد و باز دیکن  درون Q قرار دارد داخل این بیضی هسینF “تقریبا متناسب” با  هستند .
(۲-۲)
گرادیان F در یک نوع شرایط لیپ شیتز صدق می‌کند :
(۲-۳)
و کران‌های پایین و بالای F را به صورت زیر داریم:
(۲-۴)
(۲-۵)
کران پایین (۲-۴) برای h ‌های که  قابل قبول است (نیازی به شرط  ندارد) .
برهان : فرض کنیم h به صورت  و  باشند. روابط (۲-۲) و (۲-۳) و (۲-۴) که در اینh صدق می‌کند را ثابت می‌کنیم.
Ι ) قرار می‌دهیم  به طوری که  پیوسته روی  مشتق پذیر باشد و داریم:

برای هر مثبت و به اندازه کافی کوچک داریم :

بنابراین:

با انتگرال گیری از طرفین نامساوی فوق از ۰ تا t داریم:

این نامساوی به ازای هر  برقرار است با گرفتن حد از طرفین وقتی که  داریم:
(۲-۶)
ΙΙ) با دوبار انتگرال گیری متوالی از (۲-۶) به دست می‌آوریم

که پس از محاسبات رابطه (۲-۴) بدست می‌آید (توجه کنید که  ) .
با توجه به استدلال ارائه شده، می‌توان محدودیت  را تنها در مشتق کران بالایی (۲-۴) استفاده کرد؛ بنابراین کران پایین‌تر به ازای هر h قابل قبول است به طوری که  .
ΙΙΙ) حال  را در نظر گرفته و قرار می‌دهیم

بنابراین  یک تابع نامنفی و به طور پیوسته روی  مشتق پذیر است و داریم:
(۲-۷)
رابطه (۲-۷) بدین معنی است که  در نامساوی دیفرانسیلی و خطی زیر صدق می‌کند:

(نامساوی دوم (۲-۶) با  ترکیب می‌شود) و داریم: