همانند بسیاری از روش‌های آمار کلاسیک، برخی از تخمین‌گرهای زمین آماری نیز بر پایه‌ی توزیع نرمال استوار هستند. چنانچه توزیع داده‌ها، نرمال و یا نزدیک به نرمال باشد؛ نتایج حاصل از تخمین آماری از دقت بالاتری برخوردار خواهد بود. توزیع عددی بسیاری از خصوصیات خاک (به ویژه خصوصیات شیمیایی و بیولوژیکی)، دارای انحراف از توزیع نرمال است. انحراف از توزیع نرمال، عموماً به دلیل وجود مقادیر کرانه‌ای است. گاهی اوقات، مقادیر کرانه‌ای به عنوان داده‌های پرت و یا ناشی از خطاهای مختلف محسوب می‌شوند و بایستی مورد بررسی و بازبینی دقیق قرارگیرند. در صورت انحراف داده‌ها از توزیع نرمال، از مدل توزیع لوگ­نرمال جهت توصیف داده‌ها استفاده می‌شود. یک متغیر، هنگامی دارای توزیع لوگ‌نرمال است که پراکنش لگاریتم مقادیر عددی آن به صورت نرمال توزیع یافته باشد (محمدی، ۱۳۸۵و حسنی‌پاک، ۱۳۸۹). اغلب ویژگی‌های خاک از توزیع غیر نرمال پیروی می‌کنند و نیازمند تبدیل لگاریتمی هستند تا توزیع نرمال یابند (ترانگمار و همکاران، ۱۹۸۵).
جداول فراوانی و نمایش گرافیکی داده‌ها
هیستوگرام^[۳۳]
هیستوگرام ابزاری است که با بهره گرفتن از آن می‌توان شکل توزیع را بررسی نمود. با مشاهده میانگین و میانه می‌توان مرکز توزیع را بررسی نمود. هرگاه شکل هیستوگرام زنگوله‌ای باشد و مقدار میانگین و میانه به هم نزدیک باشند، توزیع نرمال است. اگر با بررسی هیستوگرام، چولگی زیادی در داده‌ها مشاهده شد، می‌توان از تبدیل داده‌ها استفاده نمود (جانستون و همکاران، ۲۰۰۱).
نمودارهای احتمال^[۳۴]
نمودارهای احتمال که به نمودارهای Q-Q معروف می‌باشند. نسبت‌های تجمعی را در مقابل نسبت‌های تجمعی توزیع نرمال رسم می‌کنند. نمودار احتمال برای پی بردن به این نکته که آیا توزیع متغیرها از توزیع نرمال تبعیت می‌کند یا نه، به کار می‌روند. در صورت تطابق با توزیع نرمال نقاط در اطراف خط مستقیم با زاویه ۴۵ درجه قرار می‌گیرند (وانگ و همکاران، ۲۰۰۹).

اعداد پرت^[۳۵]
اعداد پرت دو دسته هستند:
الف) اعداد پرت عام^[۳۶] : مقادیری از نقاط نمونه‌برداری شده است که نسبت به تمام مقادیر سری داده‌ها^[۳۷] بسیار زیاد یا بسیار کم هستند.
ب – اعداد پرت موضعی^[۳۸]: داده‌های ناهمگن یا مقادیری درمیان دامنه نرمال سری داده‌ها که به صورت غیرمعمول بالا یا پایین هستند. به دو دلیل باید به مقادیر پرت توجه نمود، زیرا ممکن است آن‌ها مقادیر واقعی باشند یا اینکه اشتباهی در اندازه‌گیری یا ثبت داده‌ها رخ داده باشد. ممکن است اعداد پرت واقعاً غیرطبیعی باشند، اما یک نقطه مهم در منطقه مطالعاتی بوده و در درک پدیده مورد نظر ضروری باشند. یا این‌که در هنگام وارد کردن داده‌ها اشتباهی رخ داده باشد، که این اعداد باید قبل از ایجاد سطح، تصحیح یا حذف شوند. اعداد پرت اثرات زیان‌آوری بر تخمین سطوح از طریق اثر بر مدل‌سازی نیم تغییرنما و مقادیر همسایگی می‌گذارند (جانستون و همکاران، ۲۰۰۱ و نخعی، ۱۳۸۹).
تاریخچه زمین‌آمار
نخستین تجربه‌ها جهت بکارگیری روش‌های آماری به مفهوم امروزی آن، در محاسبات تخمین ذخیره از حدود ۹۰ سال پیش، با شناسایی مقدماتی الگوهای توزیع طلا در معادن آفریقای جنوبی شروع شد. «هوپر» که روی معادن طلا تحقیق می‌کرد، با جمع‌ آوری تعداد زیادی نمونه و بررسی آن‌ها دریافت که با تفکیک مقادیر طلا در دسته‌ه ای جداگانه، الگوهای توزیع فراوانی مشخصی ظاهر می‌شود (مدنی، ۱۳۷۳).
«واترمایر» که با هوپر همکاری داشت، اولین مقاله در این زمینه را در سال ۱۹۱۹ منتشر ساخت که از دیدگاه آماری حاوی دو نکته مهم بود: یکی آن‌که منحنی‌های توزیع فراوانی به هیستوگرام‌هایی با چولگی مثبت برازش داده شده بودند؛ دیگر آن‌که مبنایی برای رسیدن به یک میانگین قابل قبول برای تعداد محدودی از مقادیر وزن داده شده به روش مربع مقادیر فراوانی، به دست می‌داد. دلیل اصلی او برای نپذیرفتن میانگین حسابی آن بود که این مقادیر تنها در حالتی که مد و میانه برهم منطبق باشد (برخلاف توزیع نامتقارن طلای مورد مطالعه آن‌ها) قابل قبول هستند. یک دهه بعد «تروسکات» (۱۹۲۹) خاطرنشان کرد که نه تنها مقادیر مورد مطالعه بایستی به روش مربع فراوانی وزن داده شوند بلکه باید از خود مقادیر نیز برای وزن دادن استفاده کرد. اگرچه تروسکات می‌دانست که هرگاه هیستوگرام مقادیر طلا به صورت لگاریتمی بیان شود از خود تقارن نشان خواهد داد ولی این «سیشل» (۱۹۴۷) بود که مدل را ارائه کرد. وی همچنین مسئله “خطاهای نظام‌دار سیستماتیک” در نمونه‌برداری را برای نخستین بار مطرح ساخت. سیشل فرمول و جدولی را به منظور محاسبه دقت میانگین محلی متغیرهای لگاریتمی طبیعی و فاصله اطمینان این متغیرها ارائه و منتشر کرد. تخمین‌گر t که توسط سیشل پیشنهاد شده بود، سه اِشکال عمده داشت: ۱- توزیع احتمال مقدار زمینه باید لگاریتمی باشد. ۲- نمونه‌ها باید مستقل باشند. ۳- در این روش موقعیت نمونه‌ها در نظر گرفته نمی‌شود. با وجود این اشکالات، روش یاد شده در حل مشکلات بسیاری از معادن مؤثر واقع شد و مقدمه‌ای بر پژوهش‌های بعدی گردید. در همین راستا مطالعات تکمیلی گسترده‌ای توسط «راس» (۱۹۵۰)، «کریج»، «دویس» (۱۹۵۱) و دیگران انجام شد (نخعی، ۱۳۷۳). در این هنگام توجه محققین به این نکته جلب شدکه در یک منطقه معدنی معمولاً بخش‌های پرعیار و کم عیار در کنار یکدیگر قرار دارند و بایستی نوعی رابطه میان این بخش‌ها وجود داشته باشد. از این رو، تلاش‌هایی برای یافتن ارتباط فضایی نمونه‌ها و موقعیت آن‌ها شروع شد که باید کارهای «ویتن» (۱۹۶۲) در ژئوشیمی، «کرومباین» و «گریفیت» (۱۹۶۷) در تجزیه و تحلیل اطلاعات رسوب‌شناسی، «کوچ» و «لینک» (۱۹۶۷) در بررسی‌های معدنی و «هاربو» (۱۹۶۴) در زمین شناسی نفت نام برد. این کوشش‌ها در دهه ۱۹۵۰ و اوایل ۱۹۶۰ منجر به ابداع و تکمیل روش تجزیه و تحلیل سطوح روند شد. در آفریقای جنوبی این روند به کمک یک میانگین متحرک که نقشه نسبتاً همواری از بخش‌های پرعیار و کم‌عیار را ترسیم می‌کند، مشخص می‌شد. در آمریکا روش سطوح روند چندجمله‌ای پیشنهاد گردید که به کمک روش‌های آماری به برازش معادلاتی به منظور تشریح روندها می‌پرداختند. در هر دو روش فرض یکسانی به کار رفته بود: این فرض که در واقع مفهومی از پایایی^[۳۹] محسوب می‌شود، بیانگر این حقیقت بود که میانگین عیار نمونه‌ها از جایی به جای دیگر تغییر می‌کند. گام تکمیلی بعدی برای توسعه روش‌های آماری در علوم زمین توسط محققان مدرسۀ معدن پاریس به سرپرستی پرفسور «ماترون» (۱۹۶۶) اقدام به تدوین مجموعه روش‌های آمار مکانی با عنوان زمین‌آمار کردند. به دنبال روند تکاملی روش‌های آماری مورد استفاده در تخمین ذخایر معدنی که از سال‌ها قبل آغاز شده بود و به ویژه براساس پژوهش‌های افرادی مانند سیشل و کریج و … و ماترون با انتشار مقاله‌ای در سال ۱۹۶۲ پایه‌های زمین‌آمار را بنا نهاد. شاخه‌ای از علم آمار کاربردی است که با بهره گرفتن از اطلاعات حاصل از نقاط نمونه‌برداری شده قادر به ارائه مجموعه وسیعی از برآوردگرهای آماری به منظور برآورد خصوصیات مورد نظر در نقاطی است که نمونه‌برداری نشده‌اند (نخعی، ۱۳۷۳، محمدی، ۱۳۸۵ و علوی‌پناه، ۱۳۸۷).
در این‌جا باید به نکته مهمی اشاره کرد و آن تفاوت برداشت‌هایی است که از واژه‌ ژئواستاتیستیک به عمل می‌آید. ژئواستاتیستیک در مفهوم اروپایی خود به شاخه‌ای از علم آمار گفته می‌شود، که مبتنی بر نظریه متغیرهای ناحیه‌ای است که توسط ماترون پایه‌گذاری شده و به اصطلاح با داده‌ها یا متغیرهای فضایی سروکار دارد و از این رو مترادف با آمار فضایی است (نخعی، ۱۳۷۳ و محمدی، ۱۳۸۵). ژئواستاتیستیک به مفهوم آمریکایی خود به کاربرد تمامی روش‌های آمار که در علوم زمین مورد استفاده هستند، ازجمله آمار کلاسیک اطلاق می‌شود. این تعریف از ژئواستاتیستیک مفهومی به مراتب کلی‌تر و وسیع‌تر از مفهوم نظیر آن در کشورهای اروپایی را دربر دارد ( نخعی، ۱۳۷۳).
کاربرد نظریه ژئواستاتیستیک که در ایران به آن «آمار‌مکانی» اطلاق می‌شود، نخستین بار توسط حاج-رسولی‌ها و همکاران به منظور تجزیه و تحلیل تغییرات مکانی شوری خاک استفاده گردید. در سال‌های اخیر کاربرد این نظریه توسط محققین کشور در علوم خاک رو به افزایش بوده که از جمله بایستی به مطالعات محمدی، عالمی و همکاران و حسینی و همکاران اشاره نمود. به طور کلی زمین آمار را می‌توان رویکرد آماری جهت مدل‌سازی متغیرهای ناحیه‌ای در قالب نظریه احتمال و با بهره گرفتن از تابع تصادفی تعریف کرد (محمدی ۱۳۸۵).
خاک محیطی متخلخل و مرکب از ذراتی با کمیت و کیفیت متفاوت است، که در اثر هوادیدگی سنگ‌ها و کانی‌های مختلف به وجود آمده است. در فرایند تشکیل خاک، عوامل محیطی مختلف که در زمان و مکان متغیرند، دخالت می‌کنند. به همین دلیل بسیاری از ویژگیهای خاک دارای تغییرات مکانی و زمانی هستند. ویژگی‌های فیزیکی، شیمیایی و بیولوژیکی خاک از نقطه‌ای به نقطه‌ی دیگر متفاوت بوده و گاهی یک یا چند خصوصیت باهم و یا به تنهایی با تغییر عوامل محیطی تغییر می‌کنند. خصوصیات خاک هم در ابعاد افقی و هم عمودی تغییر می‌کند. این تغییرات حاصل عوامل خاک‌سازی است، که در مقیاس‌های مکانی و زمانی مؤثرند. تغییرات مکانی به این مفهوم است که خواص خاک در مکان های نزدیک به هم شباهت بیشتری دارند، تا مکان‌هایی که از هم فاصله بیشتری دارند. تغییرات مکانی خصوصیات خاک دو جزء ساختاری و غیرساختاری‌اند. تغییرپذیری مکانی ساختاری ناشی از تغییرات مشخص یا تدریجی در خصوصیات خاک بوده و می‌توان آن‌ها را در قالب عوامل و فرایندهای خاک‌سازی در مقیاس مشخصی از مشاهدات بیان کرد. از جمله این عوامل تفاوت در پستی و بلندی، سنگ شناسی، اقلیم، فعالیت موجودات زنده و سن خاک‌ها در مقیاس منطقه‌ای را می‌توان نام برد (علوی‌پناه، ۱۳۸۷).
تغییرات تصادفی (غیرساختاری) بر خلاف تغییرات ساختاری، اغلب در محدوده‌های کوچکتر جغرافیایی رخ داده و به همین دلیل آن‌ها را تغییرات کوتاه مدت نیز می‌نامند. افتراقی عمل کردن بسیاری از عوامل مانند لیتولوژی، شدت فرایند هوادیدگی و خاکسازی، فعالیت‌های بیولوژیکی و میکروبیولوژیکی، فرسایش و رسوب و همچنین اثرات زمانی مدیریت خاک‌ها و در نهایت خطاهای ناشی از نمونه‌برداری و تجزیه‌های آزمایشگاهی را می‌توان از مهمترین علل و عوامل ایجاد تغییرات مکانی تصادفی در خاک دانست (علوی‌پناه، ۱۳۸۷).
تشخیص و تفسیر تغییرپذیری خواص خاک به کمک روش‌های مختلف امکان‌پذیر است. روش‌های آمار کلاسیک به همراه طبقه‌بندی و نقشه‌برداری خاک، به طور معمول ابزار بررسی تغییرپذیری خاک در مقیاس منطقه‌ای‌اند، ولی روش‌های زمین‌آماری برای بررسی تغییرپذیری خاک در مقیاس محلی بوده که از توانایی بالایی برخوردار است. در آمار کلاسیک فقط کمیت مورد نظر را در نمونه در نظر می‌گیرند، ولی موقعیت مکانی نمونه را مدنظر قرار نمی‌دهند. یعنی مقدار اندازه‌گیری شده یک کمیت معین در یک نمونه خاص، هیچ‌گونه اطلاعاتی در مورد همان کمیت در نمونه‌گیری به فاصله معین، در بر نخواهد داشت. یعنی نمونه‌ها مستقل از یکدیگرند. در حالی که در زمین‌آمار هر نمونه تا یک حداکثر فاصلۀ معین با نمونه‌های اطراف خود ارتباط مکانی دارد. به طور خلاصه زمین‌آمار استفاده از تخمین‌گرهای آماری به منظور برآورد خصوصیت مورد نظر در نقاطی که نمونه برداری نشده، با بهره گرفتن از اطلاعات حاصله از نقاط نمونه‌برداری شده، می‌باشد. به عبارت دیگر در زمین آمار، هر نمونه تا یک حداکثر فاصلۀ معین با نمونه‌های اطراف خود ارتباط فضایی دارد. این حداکثر که دامنۀ تأثیر نامیده می شود و اهمیت فراوانی دارد، در حقیقت نشان دهندۀ فاصله‌ای است که در آن می‌توان از تخمین‌گرهای زمین‌آماری استفاده کرد (علوی‌پناه، ۱۳۸۷).
بنابراین آمار کلاسیک قادر به در نظر گرفتن جنبه‌های مکانی پدیده مورد نظر نیست. به طور واضح‌تر، هدف محاسبات در آمار کلاسیک بررسی متغیرهای تصادفی بوده و آشکار است که ویژگی‌های خاک نمی‌تواند متغیرهای تصادفی باشند. هر پدون^[۴۰] خاک منحصر‌به‌فرد است و با همان خصوصیات تکرار نمی‌شوند. از طرف دیگر نمونه‌های مجاور نیز نمی‌توانند به طور کامل از هم مستقل باشند، زیرا تحت تأثیر عوامل خاک‌سازی مشابهی، شکل گرفته‌اند (علوی‌پناه، ۱۳۸۷).
کاربرد اصلی زمین‌آمار در خاک‌شناسی، تخمین و بازنمایی ویژگی‌های خاک در نقاط نمونه‌برداری نشده است (لیو و همکاران، ۲۰۰۴a). بنا به نظر پوزنیاکف و ژانگ (۱۹۹۹) روش های زمین آماری مانند کریجینگ برای کمّی‌سازی تغییرپذیری متغیرهای مکانی مختلف و تهیۀ نقشه‌های خاک در خاک‌شناسی به کار می‌رود ( خرمی‌زاده، ۱۳۸۸). بنا به نظریه کریس (۱۹۹۰)، روش‌های تخمین مکانی مانند روش‌های درون‌یابی مکانی، از روش‌های آمار کلاسیک که اطلاعات حاصل از نمونه‌برداری را با هم یکی درنظر می‌گیرند، متفاوت است (یثربی و همکاران،۲۰۰۹). درحقیقت روش‌های زمین‌آماری با آمار کلاسیک متفاوت و مخصوص تجزیه و تحلیل متغیرهای دارای تغییرات مستمر جغرافیایی است (محمدی۱۳۸۵).
از جمله مهم‌ترین و عمده‌ترین تحقیقات انجام شده به منظور تکمیل و ابداع روش‌های نوین بر روی زمین‌آمار به موارد زیر می‌توان اشاره کرد: مرکز زمین‌آمار مدرسه معادن پاریس که زمانی پروفسور ماترون سرپرست آن بود. دانشگاه ژوهانسبورگ، دانشگاه لیدز، دانشگاه استنفورد، دانشگاه جورجیاتک، دانشگاه بریتیش کلمبیا. در یکی دو دهه اخیر نیز کتب و مقالات زیادی از پژوهشگران برجسته این علم در زمینه-های نظری و کاربردی منتشرشده است که از جمله باید به کارهای «دیوید»، «رندو»، «آرمسترانگ»، «جورنل»، «داود»، «کلارک» و «روحانی» اشاره کرد (نخعی، ۱۳۷۳).
متغیر تصادفی
متغیری است که هر مقداری که در دامنه عمل خود پیدا می‌کند با یک احتمال معینی قرین باشد. به عبارت دیگر هر مقدار از آن دارای احتمال رخداد معینی است.
تابع تصادفی
تابعی که در آن یک یا چند متغیر تصادفی نیاز باشد.
میدان تصادفی
فضایی است که برای تشریح و توجیه توزیع مقادیر در آن به یک یا چند تابع تصادفی نیاز باشد (حسنی‌پاک، ۱۳۸۹).
متغیر ناحیه‌ای^[۴۱]
به طور کلی، ژئواستاتیستیک را می‌توان یک رویکرد آماری جهت مدل‌سازی متغیرهای ناحیه‌ای در قالب نظریه احتمال و با بهره گرفتن از تابع تصادفی تعریف کرد. یک متغیر ناحیه‌ای عبارتست از هر خصوصیت محیطی که مقادیر آن در فضای یک، دو و یا سه بعدی توزیع یافته‌اند. از نقطه نظر ریاضی، یک متغیر ناحیه‌ای می‌تواند تابع تصادفی مانند Z (x) باشد که برای هر نقطه مانند x، دارای مقدار عددی مشخصی است. تغییرات مکانی یک متغیر ناحیه‌ای، دربرگیرنده دو مؤلفه ساختاری و تصادفی است. اولین مؤلفه، بیانگر روند است و دربرگیرنده مقدار ثابتی از مقادیر متغیر مورد نظر است. مؤلفه دوم، نشانگر تغییرات تصادفی مقادیر متغیر ناحیه‌ای از نقطه‌ای به نقطه دیگر است (محمدی، ۱۳۸۵). به عبارت دیگر یک متغیر ناحیه‌ای Z (x) در واقع یک متغیر تصادفی است که مقادیر متفاوتی از Z را بر اساس موقعیت x به خود اختصاص می‌دهد (ترانگمار و همکاران، ۱۹۸۵). تخمین‌های زمین‌آماری در نقاط نمونه‌برداری نشده را از طریق محاسبه همبستگی بین تخمین‌ها و نقاط نمونه‌برداری شده و حداقل ساختن واریانس تخمین تعیین می‌کند (سایتو و همکاران، ۲۰۰۵).
تغییرات مکانی یک متغیر ناحیه‌ای، دربرگیرنده دو مؤلفه ساختاری و تصادفی است. اولین مؤلفه، بیانگر روند است و دربرگیرنده مقدار ثابتی از مقادیر متغیر مورد نظر است. مؤلفه دوم، نشانگر تغییرات تصادفی مقادیر متغیر ناحیه‌ای از نقطه‌ای به نقطه دیگر است. تغییرات تصادفی یک متغیر ناحیه‌ای، دارای همبستگی با مختصات مکانی نقاط نمونه‌برداری است. علاوه بر دو مؤلفه اصلی، مقادیر متغیر ناحیه‌ای، دربرگیرنده نوسانات و نوفه نیز می‌باشد. نوفه‌ها که پس از مدل‌سازی مؤلفه‌های اصلی، در مقادیر تصادفی باقی می‌مانند، بدون ساختار و الگوی مکانی مشخص می‌باشند. از نظر ریاضی می‌توان تغییرات مکانی یک متغیر ناحیه‌ای مانند Z (x)را به صورت زیر بیان کرد:
m (x) تابع جبری است و معرف روند یا مؤلفه ساختاری است. (ε(x مؤلفه تغییرات مکانی تصادفی (با ماهیت پیوستگی مکانی) است و پس از حذف روند، در مقادیر متغیر ناحیه‌ای باقی می‌ماند. مؤلفه تصادفی توسط مدل‌های تصادفی مبتنی بر نظریه احتمال توصیف می‌گردد. (ε’(x نشان دهنده نوسانات سفید است و ماهیتی غیرپیوسته و مستقل (مکانی) دارد (محمدی، ۱۳۸۵). تغییرات مؤلفه تصادفی یک متغیر ناحیه‌ای در فضای n بعدی به گونه‌ای است که قالب (h) پیدا می‌کند. یعنی از خود نوعی پیوستگی نشان می‌دهد. این پیوستگی در قالب افزایش اختلاف مقدار مؤلفه تصادفی متغیر ناحیه‌ای با افزایش فاصله دو نقطه در فضا ظاهر می‌شود که اصطلاحاً آن را قالب فاصله‌ای یا قالب (h) گویند. از خواص متغیر ناحیه‌ای این است که بزرگی اختلاف مقادیر آن‌ها در زمان یا مکان متناسب با فاصله زمانی یا مکانی آن‌ها است. به عبارت دیگر در فواصل زمانی یا مکانی نزدیک به هم احتمال اختلاف بین مقدار مؤلفه‌های تصادفی کمتر و در فواصل زمانی یا مکانی دور از هم، احتمال اختلاف بین مؤلفه تصادفی بیشتر می‌گردد. در این صورت رابطه آماری بین اختلاف مقادیر مؤلفه تصادفی فواصل نظیر این مقادیر از یکدیگر، اصطلاحاً ساختار فضایی نامیده می‌شود (حسنی‌پاک، ۱۳۸۹).
۱ فرضیات ایستایی^[۴۲]
مدل‌سازی متغیرهای محیطی در چارچوب توابع تصادفی، به دلایل مفهومی قدری دشوار است. در عمل تنها یک سری نمونه از منطقه مطالعاتی در دسترس است که آن‌ها را می‌توان یک پیشامد تصادفی در نظر گرفت. از سوی دیگر تبیین یک تابع تصادفی توسط تنها یک پیشامد به وقوع پیوسته عملاً غیرممکن است. جهت برطرف نمودن چنین مشکل مفهومی، در نظر گرفتن یک سری فرضیات، تحت عنوان فرضیات ایستایی (فرضیات پایایی) ضروری است.
ایستایی مؤکد^[۴۳]
از نقطه نظر ریاضی، یک تابع تصادفی را زمانی ایستا می‌گویند که توزیع یا قانون احتمال^[۴۴] آن، یعنی خصوصیات توزیع آماری مشتمل بر نقاط عطفی مرتبه n اُم، در فضای نمونه‌برداری پایا و ایستا باشد. این وضعیت را گاهی اوقات، «ایستایی مؤکد» می‌نامند. فرضیات ایستایی مؤکد، بسیار قوی و سخت‌گیرانه می‌باشند و در عمل، کم‌تر به وقوع می‌پیوندند و یا مورد استفاده قرار می‌گیرند. زیرا، اثبات آن‌ها، بسیار مشکل و بعضاً غیرممکن است (محمدی، ۱۳۸۵). به عبارت دیگر اگر توزیع فضایی یک متغیر ناحیه‌ای (به عنوان یک تابع تصادفی) تحت هر فاصله‌ای مانند (h) ثابت بماند، آن متغیر ناحیه‌ای را اکیداً پایا گویند. بدیهی است تغییرنما‌های رسم شده به ازای مقادیر مختلف (h) همگی از توزیع یکسانی برخوردارند (خرمی‌زاده، ۱۳۸۸).
ایستایی مرتبه دوم^[۴۵]
یک تابع تصادفی مانند متغیر ناحیه‌ای را پایای مرتبه دوم گویند هرگاه دو شرط داشته باشد:
امید ریاضی متغیر ناحیه‌ای به مختصات بستگی نداشته باشد و درامتداد و جهت معین افزایش یا کاهش نظام‌دار نداشته باشد، آن‌طوری که بتوان آن را تصادفی تلقی کرد.
بنابراین اگر این فرض صادق باشد برای متغیر ناحیه‌ای نمی‌توان روند خاصی را در فضا تعریف کرد.
برای هر جفت از متغیر تصادفی ((Z (x), Z (x+h) ، کوواریانس مستقل از مختصات (x) ولی تابعی از h باشد، در این صورت با افزایش فاصله، C (h) کاهش می‌یابد. کوواریانس برخلاف واریانس، میزان شباهت دو متغیر را نشان می‌دهد:
پایایی کوواریانس به دنبال خود پایایی واریانس را لازم می‌سازد هرگاه فاصله جداکننده h به سمت صفر میل کند، کوواریانس به واریانس نمونه نزدیک می‌شود. در اینجا پایایی به مستقل بودن از مختصات ولی تابع فاصله بودن (قالب h داشتن) تعبیر می‌شود. در نتیجه می‌توان نوشت: