در تحلیلی که در این بخش انجام شده است، ۶۱ گره انتگرال را در دامنه ۳+ تا با آهنگ افزایش ۱۰ ایجاد شده است. چگالی­ها در هر گره انتگرال(r₂)، وزن­ها W(r₂) نامیده می­شوند و وزن­ها طوری تبدیل می­شوند که مجموع آنها برابر یک باشد. وزن­ها به جای اینکه به صورت توزیع پیشین پیوسته عمل کنند، به صورت توزیع پیشین گسسته عمل می­ کنند. زمانی که گره­های انتگرال و وزن­ها ایجاد شدند، اندازه صفت بر اساس معادله ‏۳‑۱۱ به روش EAP برآورد می شود [۱۸].

معادله ‏۳‑۱۱

در معادله ‏۳‑۱۱، مقادیر، یکی از ۶۱ گره انتگرال و وزن­های هر انتگرال را نشان می­ دهند. نشان­دهنده توان تابع لگاریتم درست­نمایی ارزیابی شده در هر یک از ۶۱ گره انتگرال است که طبق معادله ‏۳‑۵ بدست می ­آید . در معادله ‏۳‑۱۱ مجموع ۶۱ گره انتگرال محاسبه می­ شود، و برآورد سطح صفت حاصل، میانگین توزیع پسین را نشان می­دهد. خطای استاندارد برآورد سطح صفت به روش EAP از طریق محاسبه انحراف معیار پسین، همانطور که در معادله ‏۳‑۱۲ نشان داده شده است به دست می ­آید.

معادله ‏۳‑۱۲

مدرج کردن سوال­ها (برآورد کردن)
در کاربرهای معمولی آزمون­های استاندارد، در عمل پارامترهای سوال معلوم فرض می­ شود زیرا درجه­بندی سوال­ها به هنگام استاندارد کردن آزمون­ها انجام می­گیرد. اما برای آزمون­ها و مقیاس­های جدید، پارامترهای سوال­ها را باید با بهره گرفتن از داده ­ها برآورد کرد. در بسیاری از کاربردهای تحقیقی، همان داده­هایی که برای درجه­بندی سوال­ها مورد استفاده قرار گرفته­اند برای برآورد سطح صفت نیز به کار می­روند.

در مدل­های نظریه سوال پاسخ، معمولا پارامترهای سوال از طریق روش بیشینه درست­نمایی برآورد می­ شود. رایج­ترین روش­های مورد استفاده عبارتند از:
بیشینه درست­نمایی مشترک^[۲۷] (JML)
بیشینه درست­نمایی کناری^[۲۸] (MML)
بیشینه درست­نمایی شرطی^[۲۹] (CML)
اگر اطلاعات پیشین در مورد پارامترهای سوال در دست باشد روش­های برآورد بیسی برای JML یا MML امکان­ پذیر می­ شود. دو مفروضه عمده مورد نیاز برای برآورد پارامترهای سوال در مدل­های IRT عبارتند از :
استقلال مکانی
بعدیت مناسب در مدل IRT (یعنی تعداد صفت­ها)
روش­های گوناگون برآورد برای مدل­های IRT ممکن است به مفروضه­های دیگری نیز نیازمند باشند. برای مثال، برآورد به روش CML مستلزم آن است که نمره کل یک آماره مکفی برای برآورد میزان صفت باشد.
استقلال مکانی به این معناست که وقتی سطح صفت کنترل می­ شود، پاسخ دادن به هر سوال، به پاسخ دادن به سایر سوال­ها وابسته نیست. ممکن است در کل نمونه سوال­ها ارتباط متقابل یا ارتباط درونی بالایی با یکدیگر داشته باشند، اما اگر سطح صفت کنترل شود، استقلال مکانی مستلزم آن است که هیچ ارتباطی بین سوال­ها باقی نماند.
از نظر علمی وقتی که پاسخ سوال­ها با هم مرتبط باشند، استقلا مکانی از میان می­ شود. در یک آزمون شناختی، چند شرط ممکن است به وابستگی مکانی منجر شود. به عنوان مثال، اگر پاسخ درست به یک سوال شرط لازم برای پاسخ درست به سوال دیگر باشد و یا اگر محتوای یک سوال اطلاعات مناسبی برای پاسخ دهی به سوال دیگر را فراهم کند، استقلال مکانی نقض می­ شود. به عنوان مثال، سوال­هایی که جمله یا عبارت مشترکی دارند و یا دارای تنه سوال مشترک هستند، مانند آزمون­های درک مطلب، ممکن است از نظر مکانی وابسته باشند.
برای استفاده عملی از مدل IRT، فرض استقلال مکانی باید برقرار باشد، زیرا احتمال الگوی پاسخ­دهی حاصل­ضرب احتمال پاسخ­های تک تک سوال­هاست. اگر استقلال مکانی نقض شود، در این صورت احتمال الگوی پاسخ­دهی نامناسبی از مدل­های استاندارد IRT به دست خواهد آمد. با این حا، برای اینکه سوال­های دارای وابستگی مکانی در آزمون قرار داده شود روش­های خاصی تدوین شده است. برای مثال، جانارون^[۳۰] (۱۹۸۶)، مدلی را تدوین کرده است که شامل عبارت­های تعاملی است. این مدل را بیشتر در مورد سوال­های شخصیتی می­توان به کار بست.
معنای بعدیت مناسب است که مدل IRT تعداد درست برآوردهای سطح صفت هر فرد را برای داده ­ها شامل می­ شود. در نهایت، بعدیت مطلوب به این طریق تعیین می­ شود که معلوم شود مدل­های IRT دارای ابعاد مختلف، تا چه اندازه با داده ­ها برازش دارند. اگر یک مدل معمول در IRT، مانند مدل ۱PL، ۲PL یا ۳PL به طور منطقی با داده ­های آزمون بررازش داشته باشد، در این صورت بعدیت مناسب با برآورد یک سطح صفت برای هر فرد مشخص می­ شود. اما، اگر این مدل­ها برازش نداشته باشند، در این صورت ممکن است یک مدل IRT با ابعاد اضافی با یک مدل IRT با وابستگی مکانی مورد نیاز باشد. اما، اگر استقلا مکانی به طور کامل تحقق یابد، در این صورت بعدیت مناسب در مدل IRT مشخص می شود. عدم موفقیت در برآورد بعدی که در سوال­ها اهمیت دارد به وابستگی مکانی می­انجامد.
برآورد به روش بیشینه درست­نمایی
سه روش رایج برآورد پارامترهای سوال در مدل IR بر اصل بیشینه درست­نمایی (ML) استوارند. اصل ML مشخص می کند که خطاهای پیش ­بینی مدل چگونه به کمیت در می­آیند. خطاها باید به کمیت درآیند زیرا پارامترهای مدل برای این منظور برآورد می­شوند که خطاها به حداقل برسند. در روش برآورد بیشینه درست نمایی (ML)، خطا به عنوان داده­ای که مشاهده آن نامحتمل است تعریف می­ شود.
در شرایطی که نمونه بزرگ است، برآوردهای ML پارامترها دارای چند ویژگی مطلوب است.
همسانی، یعنی نردیک شدن به مقدار واقعی با افزایش حجم نمونه،
کارآمدی، یعنی کمترین خطای استاندارد نسبی،
خطای برآورد با توزیع نرمال.
یکی از مشکلات خاص در برآورد پارامترهای مدل در IRT این است که پارامترهای شخص و سوال هر دو نامشخص­اند. برای مثال، اگرچه ثبات^[۳۱] یک ویژگی کلی ML است، برخی از برآوردکننده­های پارامتر سوال در IRT ممکن است بی ثبات باشند. برآوردکننده زمانی بی ثبات استکه همراه با افزایش تعداد مشاهدات دقت برآورد افزایش نیابد. در برخی روش­های ML، با افزایش تعداد مشاهدات (یعنی افراد)، تعداد پارامترهای هر شخص نیز افزایش می­یابد. بنابراین، پارامترهای شخص، پارامترهای اتفاقی و مزاحم­اند که سبب پیچیدگی برآورد پارامترهای سوال یا پارمترهای ساختاری در مدلها و روش­های خاص می­شوند.
برآورد بیشینه درست­نمایی با پارامترهای معلوم شخص
این روش برای کاربردهای عملی مناسب نیشت، ولی ارائه کردن آن دارای دو مزیت است: نخست، پیشرفتی که در ادامه مطرح می­ شود، دوم، روش برآورد JML با مواردی که پارامترهای شخص معلوم است ارتباط تنگاتنگ دارد.
درست­نمایی داده ­های سوال پاسخ
برآورد ML، خطای پیش ­بینی مدل را به صورت خاصی تعریف می­ کند؛ با توجه به مدل، خطا یک مشاهده نامحتمل است. در ادامه تعریف احتمال پاسخ یک شخص به یک سوال خاص و سپس تعریف درست­نمایی کامل داده ­ها مطرح می­ شود.
احتمال پاسخ به یک سوال
در سوال­های دو ارزشی مدل IRT (مانند: قبول-مردود، بله-خیر)، دو احتمال پاسخ­دهی، یعنی P_is برای پاسخ درست و Q_isبرای پاسخ نادرست، پیش ­بینی می­ شود. بنابراین به عنوان مثال، در مدل راش، مدل­های زیر با شرط وجود پارامترهای شخص سوال دو احتمال ارائه می­ دهند.