اوایل کار مک دونالد وومرسلی^[۴۵] و همکاران [۳۳] در سال ۱۹۵۰ ، برای تکمیل دانش، شکل موج فشار، کارهایی را انجام دادند و شواهدی از برگشت جریان در گردش خون خرگوش و سگ مشاهده کردند. وومرسلی در مقاله ۱۹۵۵ خودش [۳۳] ،یک حل تحلیلی برای پروفیل سرعت جریان توسعه یافته در اطراف یک لوله، وقتی که گرادیان فشار نوسانی است، ارائه کرد. که امروزه به عنوان پروفیل وومرسلی شناخته می شود و برای بدست آوردن شرایط مرزی مناسب در محاسبات شبیه سازی، بسیار استفاده می شود.

کارو و همکاران [۱۳] فرض کردند که آترواسکلروسیس در مناطق تنش برشی کم(WSS) ، به وجود می آید، فرضی که از آزمایشات تجربی پلاک دو شاخگی کاروتید (CAB)^[46] در داخل بدن مشخص شده بود.
مطالعات تجربی در مدل شیشه ورم کرده^[۴۷] (حبابی) از CAB در سال ۱۹۸۰ به وسیله کوو، گیدن و زرین انجام شد [۱۸,۱۹,۸] در این مطالعات از هندسه متوسط به دست آمده از آنژیوگرافی، استفاده شد.شرط ورودی پایا و نوسانی استفاده شده بود و تنش برشی استاتیک ایجاد شده در ضخامت دیواره اینتیما با هم مقایسه شد. جریان کلی در CAB به صورت جریان دائم جدا از هم در منطقه سینوسی (حبابی )کاروتید با نقاط جدایش در حال حرکت، در چرخه گردش خون، و جریان های ثانویه به دلیل انشعابات، توصیف شد.
جریان های ثانویه می توانند به علت انحنا در هندسه شریان به وجود آیند. WSS بالا در راس زاویه انشعابات، جریان از CCA^[48] و محل اتصال ICA^[49] و ECA^[50] مشاهده شد. WSS نوسانی و کم در ناحیه سینوسی کاروتید، که توسط چرخش ایجاد می شوند، مشاهده شد.
مشاهده شد که ضخامت اینتیما رابطه مثبتی با مناطق برش کم و نوسانی دارد و این، فرضیه ی کارو را بیشتر تقویت کرد.
کوو[۱۹] شاخص برش نوسانی (OSI) ^[۵۱]را معرفی کرد. یک میزان از اندازه تغییرات تنش برشی در نقاط مختلف را می دهد، که امروزه نیز عموما استفاده می شود. مقدار بالای OSI در ارتباط با مقدار کم WSS مشاهده شد.
با رشد منابع محاسباتی و بهبود تکنیک های تصویر برداری پزشکی، استفاده از CFD ^[۵۲]در شبیه سازی گردش خون به سرعت افزایش یافت.
هندسه های خاص بیماری و شکل موج فشار واقعی توسط میلنر و استینمن [۳۱] با بهره گرفتن از هندسه بازسازی شده توسط تصویربرداری MRI ^[۵۳]، مورد بررسی قرار گرفت.
تغییرات زیاد هندسه CAB و شاخصه های جریان توسط لی و همکاران [۶۱] مطالعه شد، و تغییرات زیادی در مناطق با WSS کم و OSI بالا یافت شد. عوامل هندسی مختلفی برای ارتباط WSS کم وOSI، مورد بررسی قرار گرفت.
در مطالعات هندسه متوسط اخیر، روی زاویه انشعاب و نسبت مساحت مقطع عرضی، تمرکز شده است. در تحقیق لی، او پیشنهاد کرد از نسبت مساحت مبدایی^[۵۴] ( نسبت بین سینوس کاروتید و قطر CCA ) استفاده شود. یک ارتباط زیاد بین WSS کم و OSI بالا از عوامل هندسی استفاده شده در مطالعات اخیر انشعاب، بدست آمد.
در مطالعات انتقال جرم اخیر، روی هندسه ایده آل تمرکز شده است.[۲,۵۵,۵۶,۵۸] مدل های دو بعدی در ابتدا برای به حداقل رساندن محاسبات، مورد استفاده قرار گرفت.[۹] این مدل ها فقط می توانند جدایش در قسمت سینوسی کاروتید را نشان دهند و نه جریان های ثانویه که به علت انشعابات ایجاد می شوند. مدل های ۳D شرایط متقارن، فقط برای حل نیمی از هندسه و برای شرایط ورودی پایا استفاده می شوند.
ام ای و همکاران در مطالعات خود [۴۲] یک لایه مرزی جرم ضخیم در قسمت سینوسی کاروتید، به علت جدایش در این ناحیه، مشاهده کردند. محل حداقل انتقال جرم با حداقل تنش برشی مطابقت ندارند، اگر چه هر دو با ضخامت اینتیما ارتباط زیادی دارند.
۲-۵ پاسخ سلولی
پاسخ سلول های اندوتلیال به نیروهای همودینامیک، نقش مهمی در فهم آترواسکلروسیس ایفا می کند. اندوتلیال محدود کننده نرخ انتقال کلسترول است.[۳۸,۲۰,۲۱] اثر تنش برشی در عملکرد سلول های اندو- تلیال هنوز به طور کامل شناخته نشده است.
مطالعات لوسکیو و نرم [۴۱] نشان داد که سلول های اندوتلیال، وقتی در معرض تنش برشی قرار دارند، به شدت ردیف، هم تراز و دراز و کشیده هستند. نشان داده شده است که در مناطق چرخش، یا تنش برشی کم و نوسانی، سلول های اندوتلیال تراز و سازمان خود را از دست می دهند. [۵۴] که این منجر به آپوپتوسیس^[۵۵] بالای سلولی می شود. سلول های اندوتلیال در مناطق جریان آشفته، مانند: مناطق انشعاب شریان کاروتید (CAB)، اسکلت سلولی و اتصالات بین سلولی خود را از دست می دهند که منجر به افزایش نفوذپذیری ماکرو مولکولی می شود.[۵۴,۲۹] که این می تواند منجر به افزایش انتقال جرم LDL به دیواره رگ شود.
گونه های اکسیژن فعال (ROS)^[56] یکی دیگر از عوامل کلیدی در آترواسکلروسیس می باشند.[۱] اکسید NO ^[۵۷]به LDL اجازه می دهد به اینتیما وارد شود. NO در بخشی از سلول های اندوتلیال تولید می شود [۷۰]
دو مکانیزم برای NO تولید شده توسط سلول های اندوتلیال معرفی می شوند. تولید پشت سر هم در شیب افزایش تنش برشی و تولید پایدار کم برای تنش برشی ثابت وجود دارد. این نشان می دهد که در مناطقی از جریان خون در طول چرخه قلبی، از قبیل جریان در ناحیه ی حبابی کاروتید، که کمبود NO دارند، جدایش جریان وجود دارد.
نقش NO و دیگر گونه های اکسیژن فعال (ROS) هنوز به طور کامل شناخته نشده است. واضح است که انتقال گونه هایی نظیر ROS ، LDL و WBC ^[۵۸]نقش کلیدی در آترواسکلروسیس بازی می کنند.
۲-۶ انتقال جرم لیپوپروتئین ها با دانسیته پایین در شریان
گونه ایی که در ناحیه ی لومن به دیواره رگ منتقل می شود با مقاومت های مختلفی روبه رو می شود. اکسیژن ، ATP و دیگر گازها در تمام سطح ادوتلیوم به وسیله آنزیم کاتالیز واکنش شیمیایی مصرف می شوند. در مقابل بسیاری از املاح پروتئین های محلول در خون از قبیل آلبومین^[۵۹] و LDL به واسطه اتصالات محکم قادر نیستند.
دنگ ایکس و همکاران[۲۷] اثر جریان فیلتراسیون در انتقال جرم LDL در شریان کاروتید سگ را با بهره گرفتن از مدل های محاسباتی و آزمایشگاهی و تجربی بررسی کردند. با افزایش سرعت فیلتراسیون ، غلظت LDL روی سطح اندوتلیوم بالاتر بود. که این نتایج با آزمایشی که در آن فشار های مختلف به عروق به کار گرفته شد و تغییرات غلظت LDL اندازه گیری شده، تایید شد. غلظت بالاتر ذرات وقتی که جریان فیلتراسیون به علت گرادیان فشار بالاتر افزایش یافته بود، مشاهده شد.
انتقال ذرات LDL با سه مدل تشریح شد وابسته به اینکه دیواره شریان چطور تعریف شود: مدل مستقل از دیوار- مدل تک لایه – مدل چند لایه
در مدل مستقل از دیواره
در مدل مستقل از دیواره غلظت LDL روی سطح ناحیه لومن به سادگی در جریان خون و مدل جابجایی – دیفیوژن تعیین می شود.[۲۹,۹۵,۹۶]
در مدل تک لایه ایی
دیواره به عنوان یک تک لایه متخلخل با پارامتر های هموژن برای انتقال ذره بیان می شود با فرض اینکه دیواره شریان یک ساختار شبکه فیبری است، و در بعضی موارد نفوذپذیری و تغییرات LDL با WSS و جریان فیلتراسیون با بهره گرفتن از مدل دارسی یا برینکمن محاسبه می شود[۸۶]
مدل چند لایه
در این مدل به جای یک شبکه متخلخل تک لایه ایی، دیواره به عنوان یک ساختار پیچیده متشکل از اینتیما و IEL ( لومینا آلستیک داخلی ) و مدیا [۶۸,۷۸] است.
مدل چند لایه ایی می تواند جزئیات بیشتری از توزیع LDL در دیواره بدهد، اما مدل چند لایه ایی به پارامتر های انتقال بیشتری نیاز دارد که به سختی در متد های تجربی دقیق به دست می آید. چون هر ناحیه به پارامتر های خودش نیاز دارد. به عنوان مثال پارامتر های نفوذپذیری، نرخ مصرف LDL و مقاومت جریان پلاسما، که به نظر می رسد با روش فعلی تصویر برداری پزشکی، جدا سازی جزئیات ساختار ها در هندسه داخل بدن غیر ممکن است. به این دلیل اگر هدف اصلی از این پژوهش توزیع LDL در دیواره رگ نیست، پس مدل تک لایه ایی ممکن است برای تشریح انتقال جرم LDL در یک شریان داخل بدن کافی باشد. در تحقیق ها ماهیت شار ذره LDL روی سطح شریان به عنوان یک عامل مهم در ارزیابی و پیشرفت پلاک در نظر گرفته شده است.
در نتیجه مهمترین مساله، اجرای یک مدل مناسب روی سطح اندوتلیال در داخل دیواره شریان است. در این پایان نامه براساس هندسه شریان کاروتید در داخل بدن ، جریان خون برای استخراج WSS محاسبه می شود و نیروی همرفتی پیشبرنده ذرات LDL در لومن را نتیجه می دهد. همراه با این در حد فاصل بین مجرای لومن و دیواره شریان، اثر ثابت نفوذپذیری و جریان فیلتراسیون به غلظت LDL در نظر گرفته شده است.
هم چنین تفاوت کار در این پایان نامه با اکثر کارهای قبلی تاثیر جریان نوسانی خون و ناپایدار گرفتن جریان خون می باشد.
فصل سوم
معادلات حاکم
فصل ۳: معادلات حاکم
۳-۱ انتقال جرم در دیواره رگ
انتقال جرم در رگ با بهره گرفتن از روش های تجربی، تحلیلی و محاسباتی مورد مطالعه قرار گرفته است. در قسمت های تحلیلی و محاسباتی پروسی [۵۰] مدل های مختلف را به سه دسته تقسیم کرده است: مدل مستقل از دیواره، مدل دیواره تک لایه یا همگن و مدل چند لایه.
۳-۱-۱ مدل مستقل از دیواره
این مدل ساده ترین مدل می باشد. چنین مدل هایی انتقال جرم از لومن را در نظر نمی گیرد. [۲۶]برای چنین مدلسازی ، تنها سه پارامتر فیزیکی مورد نیاز است:
ضریب دیفیوژن ذرات مورد بررسی در پلاسما
ضریب کلی انتقال جرم ذره ی مورد نظر به دیوار
سرعت فیلتراسیون دیواره شریان
وادا و کارینو [۶۷] این مدل ساده را برای انتقال ذرات LDL به دیوار رگ استفاده کردند. آن ها دیواره ی رگ را به صورت نیمه تراوا برای عبور آب در نظر گرفتند و سرعت فیلتراسیون را  قرار دادند و از شرایط مرزی زیر بر روی دیوار استفاده کردند.
(۳-۱)
که  ضریب انتقال کلی غلظت می باشد.
۳-۱-۲ دیوار همگن(تک لایه ایی)
در این مدل دیوار نیز در نظر گرفته می شود اگرچه ساختار پیچیده و ناهمگن آن را با یک ساختار همگن و ساده تقریب می زنیم. ویژگی های دیوار اغلب با فرض دیوار به عنوان محیط متخلخل همگن تقریب زده می شود.[۱۵,۱۶,۳۲] این روش مصالحه ای بین اطلاعات پیچیده ورودی و نتایج خروجی ایجاد می کند و در مواقعی کاربرد دارد که جزئیات پخش غلظت در دیواره به عنوان اولین موضوع با اهمیت برای ما نمی باشد. به علاوه برای مطالعه همو دینامیک و نقش موضعی آن، این مدل می تواند ابزاری برای ارتباط دادن همو دینامیک و دیواره شریان باشد. به عنوان مثال در نظر گرفتن تراوایی وابسته به تنش برشی در این مدل قرار می گیرد.
استنگ بی و اتیر [۱۵,۱۶] جریان سیال را در لومن و دیواره در یک مجرا با گلوگاه بررسی کرده اند و از آن به منظور انتقال ذرات چربی استفاده کرده اند. آن ها جریان خون و جریان ترنسمورال^[۶۰] را با بهره گرفتن از مدل برینکمن^[۶۱] به هم مرتبط کرده اند. به علاوه آن ها تغییرات در تراوایی را به علت وجود پلاک در مدل خود در نظر گرفته اند. آن ها از معادلات ناویر استوکس به شکل زیر بهره گرفته اند.
(۳-۲)
که  عدد وومرسلی و  است. آن ها از رابطه زیر که رابطه محدود شده از معادله ای کلی است نیز بهره گرفته اند.
(۳-۳)