اگر π برابر صفر باشد، بدین معنی است که هم­جمعی وجود ندارد. این همان مدلی است که در روش باکس-جنکینز[۵۵] بطور ضمنی وجود دارد. در صورتی­که متغیرها I(1) باشند؛ به آسانی با تفاضل گرفتن از متغیرها مشکل حل می­ شود.
اگر π مرتبه کامل داشته باشد، آنگاه تمام ytها باید پایا باشند چون متغیرهای سمت چپ و راست معادله بالا پایا هستند.
مورد جالب توجه زمانی است که π کمتر از مرتبه کامل است اما برابر صفر نیست. این حالتی است که هم­جمعی وجود دارد. در این حالت π می­توان نوشت π= αβ’ ( که β متناظر با ماتریس هم­جمعی است). α و β ماتریس­های n×r هستند. توجه کنید که α و β تبدیل­های نامنفرد هستند، چون برای هر ماتریس F نامنفرد داریم π= αβ’= αF-1(βF’)’. فقدان شناسایی گاهی اوقات می ­تواند نتایج را برای تحلیل هم­جمعی چند متغیره، جهت تفسیر و یافتن راه مناسب نرمال­سازی β (و بنابراین α) ناممکن سازد که اغلب دشوارترین بخش کار است. از α بعنوان «سرعت تعدیل به­سمت تعادل» یاد می­ شود (مون و سورنسن[۵۶]، ۱۹۹۶).
۳-۳-۴- آزمون­های هم­جمعی
۳-۳-۴-۱- آزمون انگل-گرنجر
یکی از معروف­ترین آزمون­های هم­جمعی توسط انگل و گرنجر[۵۷] (۱۹۸۷) معرفی شده است که بر اساس رگرسیون زیر است (هردوی xt و yt جمعی از مرتبه یک I(1) هستند).
yt = θ’xt + et (۱۰-۳)
با توجه به اینکه توزیع مجانبی θ استاندارد نیست، انگل و گرنجر آزمونی جهت برآورد با بهره گرفتن از روش حداقل مربعات معمولی (OLS) پیشنهاد کردند و آزمون پایایی (دیکی-فولر) را برای جمله اخلال زیر انجام دادند.
توجه نمایید که با توجه به فرضیه صفر آزمون ریشه واحد، فرضیه صفر آزمون هم­جمعی مبنی بر عدم هم­جمعی خواهد بود. چون مقدار واقعی θ مشخص نیست و ما از برآورد آن استفاده می­کنیم، مقادیر بحرانی دیکی-فولر برای آزمون پایایی جمله اخلال مناسب نیست. لذا انگل و گرنجر مقادیر بحرانی دیکی-فولر را برای آزمون هم­جمعی محاسبه نمودند.
۳-۳-۴-۲- آزمون دوربین-واتسون رگرسیون هم­جمعی[۵۸]
آزمون دوربین-واتسون رگرسیون هم­جمعی، روشی دیگر برای پی بردن به هم­جمع بودن دو متغیر است. در این آزمون، فرضیه صفر آن است که فرایند جملات اخلال رگرسیون (et) گام تصادفی و ناپایاست، یعنی:
et = et-1 + vt vt ~ IN(0,σ۲) (۱۲-۳)
و فرضیه مقابل عنوان می­ کند که جملات اخلال دارای فرایند خودتوضیح مرتبه اول و پایا است.
et = ρet-1 + vt vt ~ IN(0,σ۲) , |ρ|˂۱ (۱۳-۳)
روش انجام این آزمون به این صورت است که از کمیت آماره آزمون دروبین-واتسون مربوط به رگرسیون هم­جمعی برای این آزمون که دوربین-واتسون (d) برابر صفر است، استفاده می­ شود. فرضیه صفر، d=0 و فرضیه مقابل d˃۰ است.
کمیت­های بحرانی مربوط به این آزمون توسط سارگان و بارگاوا[۵۹] محاسبه شده است. اگر کمیت آماره آزمون دوربین-واتسون مربوط به رگرسیون هم­جمعی کمتر از مقادیر بحرانی بود، فرضیه صفر پذیرفته می­ شود، یعنی جملات اخلال ناپایا و گام تصادفی است. در نتیجه متغیرهای الگوی مورد نطر هم­جمع نیستند و یک رابطه تعادلی با مفهومی بین آنها در بلندمدت برقرار نیست (نوفرستی، ۱۳۸۷).
۳-۳-۴-۳- متدولوژی یوهانسون
بهترین روش برای آزمون ریشه واحد با بهره گرفتن از سیستم برآوردگر حداکثر درستنمایی (ML) یوهانسون[۶۰] (۱۹۹، ۱۹۹۱) است که آزمونی برای قیود هم­جمعی در یک مدل VAR است. برآوردگر یوهانسون بطور مجانبی برآوردهای کارایی از بردارهای هم­جمعی (βها) و پارامترهای تعدیل (αها) می­دهد.
روش یوهانسون، یک برآوردگر حداکثر درستنمایی است که مدل رتبه کاهیده نیز نامیده می­ شود. با یک مدل خودتوضیح AR(K) شروع می­کنیم.

که با فرض هم­جمعی مرتبه k بصورت زیر نوشته می­ شود.
که α و β هردو p×k هستند. تعداد پارامترها در این مدل نامقید برابر p + kp2 + p(p+1)/2 است. در نظر بگیرید و .
ماتریس گشتاور بصورت زیر تعریف می­ شود.
ابتدا Zit راروی Z1t رگرس کرده، جملات خطا را Rit قرار می­دهیم. این، خالص شده Δyt و yt-k پارامترهای کوتاه­مدت است که متناظر با اخلال[۶۱] در رابطه هم­جمعی است. مجموع مجذور خطای رگرس کردن Z0 و Zk بر Z1 با Sij نشان داده می­ شود، بعبارتی
برآوردگر حداکثر درستنمایی α و β تابعی از این جملات اخلال است. یوهانسون (۱۹۸۸، ۱۹۹۱) نشان داد که با انتنخاب بردار ویژه که بردارهای ویژه معادلات نرمال­شده زیر هستند.
بطوری­که و مقادیر ویژه متناظر . هم­جمعی از مرتبه r دلالت دارد که در حالی­که (چون مقادیر ویژه برآورد شده، متغیرهای تصادفی پیوسته هستند که با احتمال یک مخالف صفر هستند). کاملا روشن است که ما به دنبال بردارهای ویژه متناظر با مقادیر ویژه غیرصفر در برآوردگرهای بردارهای هم­جمعی هستیم.
به منظور پیدا کردن این مقادیر ویژه، معادله (۳-۱۸) را در (با بهره گرفتن از فاکتورگیری چولسکی) ضرب کرده و داریم
توجه نماید که این مسئله استاندارد مقدارویژه­ای است که برنامه ­هایی شبیه گاوس قادر به حل آنها می­باشد. بردارهای ویژه (ui) که گاوس می­دهد، نرمال شده هستند بطوری­که ui‘ui =۱ .
به منظور تفسیر ای معادلات، به یاد داشته باشید که حداقل مربعات از رگرس کردن R0t بر Rkt بدست آمده است. بنابراین برآورد حداقل مربعات π برابر است با
توجه نمایید که
تابع حداکثر درستنمایی برابر است با
توجه نماید این یک تابع مقادیرویژه برآوردشده است که تمام مقادیرویژه بجز بزرگترین r بردارویژه برابر صفر هستند. برای مثال آزمون وجود یک بردار هم­جمعی در برابر هیچ بردار هم­جمعی شامل آزمون این مسئله خواهد بود که بزرگترین مقدارویژه بطور معنی­داری مخالف صفر است. همچنین یوهانسون دریافت که
آماره آزمون نسبت درستنمایی H برای این فرضیه که از رتبه r است در برابر مدل نامقید که π از رتبه کامل p است، برابر است با
توجه کنید فرضیه صفر در اینجا این است که (p-r) ریشه واحد وجود دارد. این آماره آزمون اغلب به­عنوان آماره «اثر[۶۲]» شناخته می­ شود. انتظار می­رود این آماره نزدیک به صفر باشد اگر حداکثر r بردار هم­جمعی وجود داشته باشد.
آزمون دیگری که اغلب مورد استفاده قرار می­گیرد، آزمون حداکثر مقدارویژه یا λ-max است که شامل این ایده است که اگر r+1 امین مقدارویژه صفر باشد، آنگاه تمام مقادیرویژه کوچکتر نیز صفر هستند. در این آزمون، r+1 بردار هم­جمعی در برابر r بردار هم­جمعی آزمون می­ شود(مون و سورنسن[۶۳]، ۱۹۹۶).
۳-۴- توابع واکنش آنی[۶۴]
همواره تقابل اثر تغییر یک متغیر بر متغیرهای دیگر، از جمله موضوعات مورد توجه مطالعات بوده است. در مدل­های VAR تغییرات در متغیرها توسط جملات اخلال غیرصفر اعوا می­ شود، یعنی توسط شوک­هایی که می ­تواند تفسیر ساختاری داشته باشد، اگر محدودیت­های ساختاری شناسایی به درستی اعمال شده باشد. از این رو جهت مطالعه روابط بین متغیرها، اثرات جملات اخلال غیرصفر یا شوک­های وارده بر سیستم بررسی می­ شود. این نوع تحلیل به عنوان تحلیل واکنش تکانه­ای شناخته می­ شود که در آن اثرات شوک وارده بر یک متغیر را بر سایر متغیرها بررسی می­نماید.
شکل خلاصه شده مدل VAR زیر را درنظر بگیرید.
تکانه­ها یا شوک­ها، بواسطه بردار جملات خطا وارد می­شوند. یک جز غیرصفر ut متناظر با تغییر معادل در متغیر وابسته سمت چپ است که در آن تغییرات آتی در سایر متغیرهای سیستم در دوره­ های آتی نشان داده خواهد شد. اثر نهایی یک عنصر غیرصفر در ut را براحتی می­توان با تبدیل نمایش VAR و بررسی میانگین متحرک متناظر بدست آورد. با نادیده گرفتن روند قطعی که اهمیتی چندانی برای تحلیل واکنش تکانه­ای ندارد، داریم:
که در آن و ماتریس ضرایب (K×K) هستند. اثر نهایی yn,t+j بواسطه تکانه umt، برابر (n,m) درایه ماتریس ضرایب می­باشد. از اینرو عناصر ماتریس ضرایب () نشان دهنده واکنش به اخلال ut خواهند بود.
اگر فرایند VAR باثبات باشد و yt شامل متغیرهای پایا باشد، وجود معادله (۳-۹) حتمی است. در صورتی که در حالی­که j→∞ ، اثر یک تکانه، گذراست. اگر yt دارای اجزا ناپایا (I(1)) باشد، جمله میانگین متحرک (MA) در عبارت (۳-۹) وجود نخواهد داشت. بهرحال برای هر j متناهی، ماتریس ضرایب () را می­توان محاسبه نمود. بنابراین واکنش تکانه­ای برای فرایندهای ناپایا (I(1)) نیز قابل محاسبه است. برای چنان فرایندهایی اثرات نهایی یک شوک، منجر به تغییرات دائمی در برخی یا همه متغیرهای سیستم می­ شود.
۳-۵- تجزیه واریانس[۶۵]
تجزیه واریانس ابزاری برای تفسیر مدل­های خودتوضیح برداری است. تجزیه واریانس نشان می­دهد که تغییرات مقادیر هر متغیر تا چه اندازه تحت تاثیر سایر متغیرهاست. یا بعبارتی هریک از متغیرها، تا چه اندازه قادر به توضیح نوسانات یک متغیر خاص هستند. این ابزار تعیین می­ کند واریانس خطای پیش ­بینی هر متغیر تا چه اندازه می ­تواند توسط شوک­های برون­زای سایر متغیرها، توضیح داده می­ شود.
برای محاسبه واریانس خطای پیش­بینی، مدل خودتوضیح برداری مرتبه p زیر را در نظر بگیرید

این مدل می ­تواند به صورت یک مدل خودتوضیح برداری مرتبه ۱ بصورت زیر نوشته شود:

که در آن

میانگین مجذور خطای پیش ­بینی مرحله hام متغیر j برابر است با
که
ej ستون jام از IK و اندیس jj نشان­دهنده عناصر ماتریس است.
θi = P که P ماتریس پایین مثلثی بدست آمده از تجزیه چولسکی است بطوریکه که ماتریس کوواریانس خطای ut است.
که J = ، بطوریکه J ماتریس قطری k در kp است.
مقدار واریانس خطای پیش ­بینی متغیر j بواسطه شوک­های برون­زای متغیر k با wjk,k مشخص شده است (لوتکپل[۶۶]، ۲۰۰۷).
۳-۶- مفاهیم پایایی – ناپایایی در سری های زمانی
هر سری زمانی می ­تواند حاصل یک فرایند تصادفی باشد و در فرایند تصادفی هر کدام از متغیرها دارای یک توزیع نرمال است. فرایندهای تصادفی به دو دسته تقسیم می شوند :
فرایندهای پایا یا ایستا
فرایندهای ناپایا یا ناایستا
به طورکلی یک فرایند تصادفی را وقتی پایا می­نامیم که میانگین و واریانس آن طی زمان ثابت باشد و ارزش کوواریانس بین مؤلفه­ های دوره­ های مختلف تنها به تعداد وقفه­های موجود بین دو دوره مذکور بستگی داشته باشد و نه به زمان واقعی که کوواریانس در آن محاسبه شده است.
در اغلب تجزیه و تحلیل­های کوتاه­مدت قبل از آنکه متغیرهای مدل را در تخمین وارد کنند، ابتدا با بهره گرفتن از روش­های تفاضل­گیری متغیرهای ناپایا را به متغیرهای پایا تبدیل کرده و یا به مفهوم دیگر روند را از متغیر جدا می­سازند؛ با این وصف با توجه به اینکه اکثر متغیرهای اقتصادی از نوع متغیرهای ناپایا هستند این عمل باعث نادیده گرفتن اطلاعات با ارزش بلندمدت می­ شود.
عکس مرتبط با اقتصاد
بر اساس نتایج تحقیقاتی نیوبلند – گرنجر (۱۹۹۷)[۶۷] زمانی که در یک مدل رگرسیون­، یک متغیر ناپایا با فرض اینکه از نظر تئوریکی بین دو سری زمانی مذکور رابطه­ای وجود نداشته باشد کنار هم قرار گیرند؛ بر اساس روش­های معمول تخمین معادلات رگرسیونی احتمال برقراری یک رابطه قوی بین دو سری، بسیار قوی می باشد، این رابطه آماری در ادبیات اقتصادسنجی به یک ارتباط کاذب[۶۸] معروف است.
۳-۷- آزمون­های ایستایی
به­ کارگیری روش­های سنتی و معمول اقتصادسنجی در برآورد ضرایب الگو با بهره گرفتن از داده ­های سری زمانی بر این فرض استوار است که متغیرهای الگو پایا[۶۹] هستند. یک متغیر سری زمانی وقتی پایا است که میانگین، واریانس، کوواریانس و ضرایب خود همبستگی آن در طول زمان ثابت باقی بماند. اگر متغیرهای سری زمانی مورد استفاده در الگو ناپایا[۷۰] باشند، در عین حالی که ممکن است هیچ رابطه با مفهومی بین متغیرهای الگو وجود نداشته باشد، می تواند ضریب تعیین R2 به دست آمده آن بسیار بالا باشد و موجب شود محقق به استنباط­های غلطی در مورد میزان ارتباط بین متغیرها کشانیده شود، و در نتیجه منجر به رگرسیون کاذب شود. از این رو، قبل از استفاده از این متغیرها لازم است که پایایی یا عدم پایایی آنها را آزمون کرد. برای بررسی پایایی و ناپایایی متغیرها از آزمون­های مختلفی استفاده می شود که به برخی از آنها اشاره می شود.
۳-۷-۱- آزمون ایستایی بر اساس نمودار همبستگی نگار[۷۱]
آزمونی ساده برای ساکن بودن بر اساس تابع خود همبستگی[۷۲] (ACF) است. ACF در وقفه k با نشان داده می­ شود و به صورت زیر تعریف می­گردد.
دقت کنید که اگر ۰= k باشد ، آنگاه ۱ = است.
از آنجا که کوواریانس و واریانس، هر دو با واحدهای یکسانی اندازه گیری می­شوند ، یک عدد بدون واحد یا خالص است . به عبارتی ضرایب همبستگی بین ۱- و ۱+ قرار دارد .
از آن جا که عملاً تنها یک تحقق واقعی (یعنی یک نمونه) از یک فرایند تصادفی را داریم، بنابراین تنها می­توانیم تابع خود همبستگی نمونه، را به دست آوریم. برای محاسبه این تابع باید ابتدا کوواریانس نمونه در وقفه k ، یعنی و سپس واریانس نمونه را محاسبه نماییم که به صورت زیر تعریف می شوند .
که در آن n حجم نمونه و میانگین نمونه است .
بنابراین تابع خود همبستگی نمونه در وقفه k عبارت است از :
که همان نسبت کوواریانس نمونه به واریانس نمونه است. نمودار در مقابل k نمودار خود همبستگی نمونه نامیده می­ شود.
معنی­دار بودن آماری هر را می­توان با انحراف معیار قضاوت کرد. بارتلت[۷۳] نشان داده است که اگر یک سری زمانی به صورت خالص تصادفی باشد، یعنی اختلال خالص را نشان دهد، ضرایب خود همبستگی نمونه، به طور جانبی دارای توزیع نرمال با میانگین صفر و واریانس خواهد بود که n حجم نمونه است. (گجراتی، ۱۳۸۷)
برای یک سری پایا باید تمامی ضرایب خودهمبستگی با وقفه بیشتر از صفر برابر با صفر باشد. برای آزمون این فرضیه که کلیه­ ضرایب خود همبستگی یعنی ها برابر با صفر هستند، می­توان از آماره Q[74] که توسط باکس- پیرس[۷۵] معرفی شده است، استفاده کرد.
(۳-۱۴)