مرکزهای مربع‌های باقیمانده را حذف کنید.

مراحل ۵-۲ را تا آنجایی که می‌خواهید تکرار کنید.

هنگامی که فرش سیرپنسکی ساخته شد، دانش‌آموزان می‌توانند از فرمول‌های زیر برای بررسی مساحت و محیط استفاده کنند. فرمول‌ها عبارت‌اند از:

برای دانلود متن کامل پایان نامه به سایت zusa.ir مراجعه نمایید.

طول ضلع مربع جدید

مساحت یک مربع

تعداد مربع‌های جدید

مساحت حذف شده

مجموع مساحت باقیمانده

بعد از اینکه دانش‌آموزان فرمول‌ها را برای مساحت و محیط بررسی کردند، سؤالاتی از قبیل سؤالات زیر از دانش‌آموزان بپرسید: با نزدیک شدن n به بی‌نهایت، مساحت این شکل چه خواهد بود و کدام قسمت‌ها هیچ گاه حذف نخواهند شد؟ معلمان با پرسیدن این سؤالات سطح بالاتر در مورد فراکتال می‌توانند دانش‌آموزان را در درس شرکت دهند.
همچنین دانش‌آموزان می‌توانند کار نیلز فابیان هلج ون کاچ ریاضی‌دان سوئدی را بررسی کنند. بزرگ‌ترین تعامل او به دنیای فراکتال‌ها منحنی کچ است. برف‌دانه کاچ برای افزودن دشواری به منحنی کاچ ایجاد شده بود که روی هم رفته سه منحنی کاچ می‌باشد. برف‌دانه کاچ ممکن است با بهره گرفتن از مراحل زیر ساخته شود:

با مثلث متساوی‌الاضلاع شروع کنید.

هر سمت مثلث را به سه قسمت تقسیم کنید.

مثلث‌های متساوی‌الاضلاع کوچکتری روی خارج ضلع اصلی با دو بردار روی نقاط قطع شده ایجاد کنید.

مراحل ۲ و ۳ را تا آنجایی که می‌خواهید تکرار کنید.

برف‌دانه کاچ همانند فراکتالهای قبلی را می‌توان برای بررسی محیط مساحت بکار برد. فرمول‌های کلی برای برف‌دانه کاچ عبارت‌اند از:

طول ضلع

تعداد اضلاع

محیط

سؤالی همانند سؤال زیر را می‌توان هنگامی از دانش‌آموزان پرسید که آن‌ ها برف‌دانه کاچ و مشخصات آن را کاوش می‌کنند: «وقتی که n به بی‌نهایت نزدیک می‌شود چه اتفاقی می‌افتد؟» دانش‌آموزان با ساخت فراکتال‌ها و بررسی مشخصات کلاه، فرش و برف‌دانه سیرپنسکی می‌توانند در مورد محیط و مساحت شی فرا گیرند. فراکتال روش منحصربه‌فرد و خلاقانه‌ای به دانش‌آموزان برای یادگیری در مورد و تمرین یافت محیط و مساحت ارائه می‌کنند (هسکت، ۲۰۰۷، ص ۱۱ و ۱۲).
خود همانندی در اشکال هندسی (فراکتال):
فراکتال ها همانند (خود متشابه) هستند، بدین معنی که: یک فراکتال در هر اندازه ای و با هر مقیاسی، مشابه مقیاس های دیگر به نظر می رسد. (کل شکل اجزایی مشابه شکل اول تشکیل شده است.) به این خاصیت، خود همانندی می گویند. مثلاً در مثلث سرپینسکی[۳۵]، مثلث بزرگ از مجموعه مثلث های همسان به وجود آمده است. این یکی از خصوصیات زیبای فراکتال ها است که همزمان از سوی طبیعت و فناوری به کار گرفته شده است (میریان، ۱۳۹۰، ص ۸۷). فراکتال ها بر خلاف شکل های اقلیدسی به هیچ وجه منظم نیستند، این شکل ها اولاً سراسر نامنظم اند، ثانیاً میزان بی نظمی در آن‌ ها در همه مقیاس ها یکسان است. جسم فراکتال از دور و نزدیک یکسان دیده می شود به تعبیر دیگر خود متشابه است. وقتی به یک جسم فراکتالی نزدیک می شویم می بینیم که تکه های کوچکی از آن همچون دانه های بی شکل پیچیده به نظر می رسد به صورت جسم مشخص در می آید که شکلش کم و بیش مثل همان شکلی است که از دور دیده می شود (لیلیان و همکاران، ۱۳۸۹، ص ۴۲).
آموزش هندسه به روش موزاییک کاری:
موزائیک‌کاری‌ها روش جالبی برای یکپارچه‌سازی هنر در کلاس هندسه می‌باشند. موزائیک‌کاری‌ها ممکن است از تکمیل تغییر یا چرخش ساده شکل ایجاد شوند. دستکاری‌های اشکال به دانش‌آموزان در درک مشخصات شکل‌های مختلف کمک می‌کند. دانش‌آموزان با طراحی موزائیک‌کاری دارای علاقه فردی به درس ریاضی خود می‌باشند که یادگیری و حفظ را ارتقاء می‌دهد. بسیاری از مباحث ریاضیاتی از طریق موزائیک‌کاری‌ها یادگیری و تقویت می‌شوند. موزائیک‌کاری‌ها به تقارن، تغییر شکل، الگوسازی و شناخت زاویه و شکل کمک می‌کنند. برای کمک به دانش‌آموزان برای معرفی موزائیک‌کاری‌ها، آن‌ ها می‌توانند کارهای ام سی اچلر را ببینند. موزائیک‌کاری اچلر روی این صفحه، خزندگان نام دارد. دانش‌آموزان می‌توانند این قطعه را ببیند و الگوسازی را بحث کنند. خزندگان در موزائیک‌کاری‌ها الگوهایی در درون تصویر ایجاد می‌کنند زیرا که آن‌ ها در سراسر قطعه تکرار می‌شوند. همراه با الگوسازی می‌توان تقارن را از طریق موزائیک‌کاری‌ها کاوش کرد. موزائیک‌کاری‌ها ممکن است شامل تقارن چرخشی و انعکاسی باشد. تصویر زیر تقارن چرخشی درون موزائیک‌کاری‌ها را نشان می‌دهد.

شکل ۱-۲: طرح موزاییک کاری (هسکت، ۲۰۰۷، ص ۷)

کودکان می‌توانند ویژگی‌های هر دو نوع تقارن را بررسی کنند. خزندگان نیز تقارن چرخشی بین خزندگان مختلف نشان می‌دهد و قطعه هنری حرفه‌ای جالبی است که تقارن را نشان می‌دهد. هندسه بازتاب نیز در موزائیک‌کاری‌ها نشان داده می‌شود. موزائیک‌کاری‌ها ممکن است با بهره گرفتن از چند روش همانند روش تکه‌ای خلق شوند که برشی صورت می‌دهد یا روش خط که خطوط مستقیم را به منحنی تبدیل می‌کند. روشی را که دانش‌آموزان استفاده می‌کنند به سطح در نظر گرفته شده برای درس بستگی خواهد داشت.
برای دانش‌آموزان کودکستانی و کلاس اول، آن‌ ها نبایستی اشیاء خاص خود را برای موزائیک‌کاری ایجاد کنند اما شکل‌های مختلفی برای آن‌ ها باید ارائه شود. دانش‌آموزان با خلق الگوها با شکل‌های مختلف می‌توانند کار خود با موزائیک‌کاری‌ها را شروع کنند. کودکان خردسال می‌توانند قطعه‌های هنری حرفه‌ای که از موزائیک‌کاری‌ها استفاده می‌کنند همانند کارهای اچلر را مشاهده کنند. معلم می‌تواند تقارن و الگوسازی را مورد بحث قرار دهد.
برای دانش‌آموزان ابتدایی پایه دوم و سوم، آن‌ ها می‌توانند از روش تکه برای خلق موزائیک‌کاری‌ها همانند تصویر سمت راست استفاده کنند. روش تکه‌ای از دانش‌آموزان می‌خواهد تا مربعی را شروع کنند و سپس قسمتی از یک ضلع مربع را حذف کنند. هنگامی که شکل حذف شد، تکه بر روی سمت مقابل مربع وارد می‌شود. این تغییرشکل اجازه می‌دهد که شکل با خود موزائیک‌کاری‌ کند. روش تکه ممکن است به دانش‌آموزان در یادگیری تغییر شکل‌ها کمک کند. آن‌ ها می‌توانند مشاهده کنند که شی را چگونه می‌توان بسته به چگونگی ایجاد موزاییک‌ کاری‌های آن‌ ها، لغزاند یا چرخاند. همچنین دانش‌آموزان ابتدایی می‌توانند از شکل‌های هندسی اصلی برای بررسی زاویه‌های شکل‌ها استفاده کنند. آن‌ ها می‌توانند فرا گیرند که چه شکل‌هایی موزائیک‌کاری‌ می‌شوند و کدام شکل‌ها این گونه نمی‌شوند. آن‌ ها همچنین می‌توانند شکل‌ها را دستکاری کنند تا دریابند که مربع با مثلث قائم بر روی هر ضلع، خط مستقیم یا ۱۸۰ درجه خلق می‌کند.
دانش‌آموزان پایه بالاتر (چهارم تا ششم) می‌توانند از روش خط برای طرح موزائیک‌کاری خود‌ استفاده کنند. روش خط دانش‌آموزان را ملزم می‌دارد تا شکل خاص خود را با بهره گرفتن از یک سری خطوط طراحی کنند. دانش‌آموزان با شکل پایه شروع بکار کرده و اضلاع را دستکاری می‌کنند تا خطوط منحنی ایجاد کنند. مثالی از موزائیک‌کاری‌ ساخته شده توسط روش خط، تصویر سمت چپ است. مهرها، کایت‌ تغییرشکل یافته هستند که با هم تطبیق یافته تا موزائیک‌کاری شوند. بر طبق نظر تیم گرانگر[۳۶] که معلم کلاس پنجم است، دانش‌آموزانش ویژگی‌های شکل‌های مختلف و چگونگی اثرگذاری این ویژگی‌ها بر توانایی شکل برای موزائیک‌کاری‌ها را فرا گرفته‌اند. این تنها یکی از بسیار مباحثی است که دانش‌آموزان می‌توانند از طریق موزائیک‌کاری‌ فرا گیرند. دانش آموزان در تمام پایه‌ها بدین شیوه می‌توانند در مورد تقارن، الگوها، مشخصات شکل فرا گیرند (هسکت، ۲۰۰۷، ص ۷ و ۸).
آموزش هندسه به روش کتاب سازی:
یکی از روش های هنری که می تواند در کلاس درس هندسه مورد استفاده قرار گیرد، کتاب‌سازی است. استفاده از پروژه‌های هنری ممکن است کودکان را در پروژه خلاقانه‌ای شرکت دهد که به تقویت و یادگیری مفاهیم کمک می‌کند. دانش‌آموزان می‌توانند کتابی در مورد هر مبحث در ریاضیات بسازند که به عنوان یک ابزار ارزیابی عمل کند. برای ارزیابی دانش دانش‌ آموزان در مورد اشکال، اجازه دهید دانش آموزان کتاب کودکان بر مبنای اشکال را بنویسند و نشان دهند. این امر به معلمان این امکان را می‌دهد تا بینشی در مورد مفاهیمی که دانش‌آموزان فرا می‌گیرند، به دست آورند. در حالی که آزمایشات قدیمی شامل نوشتن تعاریف حفظ شده یا رسم اشکال است با این حال کتاب‌سازی فرصتی برای نشان دادن دانش و همچنان لذت‌بخش بودن و خلاق بودن ارائه می‌کند. کتاب‌سازی به دانش‌آموزان اجازه می‌دهد تا تعاریف را به واقعیت تبدیل کنند.
دانش‌آموزان می‌توانند کتاب ریاضی را در طول هر پایه از ابتدایی خلق کنند. برای دانش‌آموزان پایه پایین‌تر (کودکستان تا کلاس دوم) دانش‌آموزان می‌توانند کتاب (من کی هستم؟) پایه را خلق کنند که به زمان اندکی نیاز دارد. دانش‌آموزان پایه بالاتر می‌توانند آکاردیون کتاب تاشده خلق کنند که دارای صفحاتی به اندازه دلخواه دانش‌آموز می‌باشد. آکاردیون کتاب تاشده ممکن است برای کلاس سوم تا ششم اصلاح شود. در زیر مثالی از آکاردیون کتاب تاشده ارائه می‌شود.
این کتاب شامل تعاریفی از شکل‌های هندسی پایه بر روی صفحات آبی بوده و صفحات زرد شامل تصویری از شکل در زندگی روزمره می‌باشد. در هر پایه، کتاب‌سازی همیشه روشی عالی برای ارزیابی کودکان در مورد دانش ریاضیاتی آن‌ ها می‌باشد.
کار هنری، اریگامی، موزائیک‌کاری، فراکتال، هنر آنامورفیک، مستطیل‌های طلایی و کتاب‌سازی روش‌های جالبی برای ترکیب هنر در درس هندسه می‌باشند. معلم با ترکیب هنر در درس به کلاس ریاضیات، لذت می‌افزاید. بسیاری از دانش‌آموزان هیچ گاه فرصت تجربه سمت خلاقانه ریاضیات را ندارند اما این پروژه‌های موثر ساده می‌توانند این امر را تغییر دهند. تمام این پروژه‌ها می‌توانند به تدریس مفاهیم باارزش ریاضیات همانند تقارن، الگوسازی، تغییرشکل، مختصات و غیره به دانش‌آموزان کمک کنند. هنر تنها یک فعالیت سرگرمی و اوقات فراغت نیست، ابزار تدریس باارزشی برای هندسه است (هسکت، ۲۰۰۷، ص ۱۷ و ۱۸).
لزوم استفاده از رایانه در آموزش:
آموزش به کمک کامپیوتر سه مبحث اساسی است. بحث اول با عنوان آموزش به کمک کامپیوتر است. در این دیدگاه کامپیوتر به عنوان مربی عمل کرده و مطالب جدید را با فراگیران تمرین می کند و روش کار بر اساس تمرین، پرسش و پاسخ است. مبحث دوم یادگیری بر اساس کامپیوتر می باشد و شامل روش هایی مانند نمونه سازی، بازی های آموزشی، حل مسأله و پردازش اطلاعات می باشد. سومین مبحث با عنوان کامپیوتر به عنوان ابزار همه کاره نامگذاری گردید؛ و برنامه ی نرم افزاری، اجرای برنامه های مورد نظر را بر عهده دارد (عصاره، ۱۳۶۸، ص ۸۰). آموزش‌های مبتنی بر رایانه در مقایسه با آموزش‌های سنتی (معلم محور) دارای مزایایی نظیر ارائه بازخورد فوری، اجتناب از قضاوت‌های ذهنی و سوگیری، تسهیل فرایند انفرادی کردن آموزش، افزایش دامنه توجه و انگیزش یادگیرندگان، یادگیری متنوع، تناسب آموزش با توانمندی‌های یادگیرندگان، ایجاد محیط یادگیری برانگیزاننده و به دور از رقابت ناسالم می‌باشند (زارعی زوارکی و غریبی، ۱۳۹۱، ص ۱۴).
رایانه با ایجاد شرایطی خاص برای کودکان کم توان ذهنی، شرایط ارتقاء سطح یادگیری آن‌ ها را فراهم می‌کند. از این رو نقش‌های متعددی برای استفاده از کامپیوتر در آموزش کودکان عقب مانده ذهنی بیان نموده‌اند از جمله:
• ایجاد محیط‌های برانگیزاننده و افزایش انگیزه و علاقه در یادگیرندگان. در محیط‌های آموزشی به کودکانی بر می‌خوریم که به طور مکرر در روند یادگیری خود با مشکلات متعددی برخورد می‌کنند و تجربه شکست پیاپی منجر به شکل گیری خود پنداره منفی در آنان می‌گردد. استفاده از کامپیوتر به شرط طراحی نرم افزارهای مناسب به شرطی که بتواند آموزش مفاهیم را در مراحل یا قدم‌های کوتاه همراه با بازخورد فوری و تقویت لازم ارائه نماید، نقش به سزایی در افزایش علاقه و حتی خود پنداره مثبت در آنان خواهد داشت.
• افزایش سطح توجه یادگیرنده به جنبه های مهم برنامه درسی
• کمک به ارائه برنامه درسی به صورت پودمانی جهت تحقق یادگیری در حد تسلط
• ایجاد امکان بهتر برای هماهنگی برنامه با نیازهای فردی یادگیرنده
• ایجاد امکان بهتر برای معلم در تشخیص و تسهیل یادگیری فرد
• کمک به فرد در جهت ارزیابی یادگیری خود (خود ارزیابی). رایانه می‌تواند ابزارهای بسیار مفیدی در مدیریت فرایند یادگیری توسط خود فرد محسوب گردد (عارفی و همکاران، ۱۳۸۸، ص ۴۲).
تاریخچه ایجاد و استفاده از انیمیشن:
تاریخ ایجاد انیمیشن به معنای «استفاده از تصاویر دنباله دار برای بیان یک موضوع» را شاید بتوان به سال‌های بسیار دور نسبت داد. به گونه ای که نقوش به جا مانده بر روی یک جام سفالی به دست آمده از شهر سوخته‌ی سیستان که برای اولین بار در حدود ۵۰۰۰ سال قبل، یک هنرمند ایرانی فکر و ذهنیت خلق تصاویر دنباله دار بر اساس طرح یک داستان کوتاه را ارائه نموده است. آن تصاویر پی در پی که تلاش بزی برای خوردن برگی از یک بوته‌ی گیاه را به نمایش گذاشته، احتمالاً اولین نمایش تصویر متحرک و در واقع اولین انیمیشن جهان به حساب می‌آید (گلپایگانی، ۱۳۸۹، ص ۲۰). بیش از سی هزار سال پیش نقاشی حیواناتی که روی دیوار غارها ترسیم می‌شد و در مواردی چهار جفت پا برای نشان دادن حرکت رسم می‌گردید. ۱۶۰۰ سال قبل از میلاد مسیح (ع)، فرعون مصر (رامسس دوم) معبدی برای ایسس[۳۷] یا خدای زن ساخت که ۱۱۰ ستون داشت و با ذکاوت خاصی بر هر ستون شمایلی نقاشی شده بود که خدای زن را با حرکاتی متفاوت نشان می‌داد. برای اسب سواران و درشکه سوارانی که از آنجا می‌گذشتند، ایسس به ظاهر در حال حرکت بود. هنر تصویر سازی قبل از پیدایش خط (یعنی دوران قبل از تاریخ) و در دوران پارینه سنگی و میان سنگی در نمونه‌هایی مثل نقاشی غارها (غارهای لاسکو[۳۸]، آلتامیرا[۳۹] و غار میر ملاس در لرستان) چیزی جز نقاشی جادویی نبوده است که بتواند با تشابه و توالی تصاویر، حرکت را القا کند (دانشگر، ۱۳۸۱، ص ۴). در ابتدای قرن سیزدهم راجر بیکن، مفاهیم حرکت و تصویر را به عنوان پیشگام و در ابتدای قرن شانزدهم با تکامل وسایل، آینه‌ها، عدسی، ساز و کار بینایی و چشم انسان توسط لئونارد و داوینچی و انتهای قرن نوزدهم با اختراع برادران لومیر که حرکت زنده به تصویر کشیده شد. کسی پیش بینی نمی‌کرد با اختراع برق و تکمیل دوربین فیلم‌برداری توسط ادیسون، اختراع فیلم دندانه دار توسط جرج ایستمن کداک، دنیای جدیدی از نمایش حرکت و تولیدات متنوع پیش روی بشر گشوده شود (شاه کرمی و احمدی، ۱۳۸۶، ص ۱۱۸).
اهمیت و کاربرد انیمیشن در آموزش:
از زمانی که انسان قادر شد تا با تجهیزات الکترونیکی نسبت به ثبت و ضبط تصاویر ثابت و متحرک اقدام نماید، توجه متخصصان تعلیم و تربیت به این پتانسیل، بیش از پیش گردید. چنانکه در سال ۱۹۹۲، مخترع بزرگ، توماس ادیسون[۴۰]، اظهار داشت که تصاویر متحرک در حال حرکت به سمت ایجاد تغییراتی اساسی در سیستم آموزشی ما هستند؛ و در سال‌های اخیر این موضوع جایگزین استفاده‌ی ما از کتاب‌های درسی گشته است (کوبان[۴۱]، ۱۹۸۶، ص ۹). پویا نمایی (انیمیشن) با پشتوانه ای غنی در اندیشه و تصور انسان، هنری است که در نهایت ذهن جاندار پندار آدمی را به تکامل رسانید تا جایی که تمامی موارد بی جان، جاندار متصور شدند این ذهنیت موجبات رشد بصری جدیدی را در عرصه‌ی تصویر متحرک فراهم نمود. در واقع انیمیشن نمایش جوهره‌ی حرکت زنده‌ی چیزهایی است که ایستا و بی حرکت به نظر می‌رسند. سادگی و سرعت در برقراری ارتباط با مخاطب و کاربر از ویژگی‌های این هنر است. این هنر در سیستم‌های آموزشی کشورهای پیشرفته جای خود را کاملاً باز کرده است (شاه کرمی و همکاران، ۱۳۸۷، ص ۱۱۶). انیمیشن‌ها از نظر هدف با تصاویر ویدئویی متفاوت اند. آن‌ ها از تصاویر واقعی استفاده نمی‌کنند. با وجود چنین محدودیتی انیمیشن‌ها به عنوان ابزاری برای تقویت تصاویر ثابت بسیار نیرومندند؛ علاوه بر این از آن‌ ها می‌توان به عنوان ابزاری برای تأکید بر جزئیات ویژه یا جنبه‌هایی از پدیده های پیچیده استفاده کرد. انیمیشن می‌تواند صفحه کاربر را به محیطی پویا و زنده تبدیل کند (حداد و دراکسلر، ۱۳۸۴).
کاربرد انیمیشن در آموزش هندسه:
امروزه در زمینه ی آموزش هندسه با بهره گرفتن از فن آوری رایانه و نرم افزارها و چند رسانه ای ها تحقیقات تازه ای صورت گرفته است که حول محور اثرات تصاویر گرافیکی پویا[۴۲] متمرکز شده است. به این روش آموزش هندسه با بهره گرفتن از تصاویر متحرک که قابلیت دستکاری و تغییر را دارند، هندسه پویا[۴۳] گفته می شود. تصاویر گرافیکی پویا به عنوان یک میانجی برای یادگیری توجه خیلی از تحقیقات را در زمینه آموزش ریاضی به خود جذب کرده است. استفاده از تصاویر گرافیکی پویا در محیط چند رسانه ای فرصت هایی را برای اکتشاف و جستجوی مفاهیم هندسی فراهم می کند (رستگارپور و یداللهی، ۱۳۸۹، ص ۶۵).
ادراک بصری و هندسه:
ادراک بصری به عنوان قابلیتی که نیاز به یاد دادن ندارد نیروی بالقوه شگرفی در انتقال اطلاعات به صورت مستقیم و ساده که به راحتی برای هر بیننده ای قابل فهم باشد را دارد (داندیس، ۲۰۰۸، ۲۳۲). نقطه، رنگ، خط، شکل، جهت، رنگ مایه، بافت، مقیاس، بعد و حرکت اجزای جدایی ناپذیر رسانه های بصری هستند که در بسط تفکر و ارتباط بصری نقش اساسی دارند. این عناصر تأثیر فوق العاده ای در شکل گیری مفاهیم اولیه هندسی برای بشر داشته است. پس می توان نتیجه گرفت که هوش فضایی به عنوان یکی از ابعاد هوش های چند گانه شیوه های تفکر حین فرایند یادگیری هندسه و در نتیجه فضایی به عنوان یکی از ابعاد هوش های چندگانه شیوه های تفکر حین فرایند یادگیری هندسه را فعال می نماید. پس به کارگیری تصاویر گرافیکی می تواند تحریک شده و زمینه پیشرفت و جستجو را برای فرد فراهم می آورد. در حقیقت رایانه نوعی روش ابزار فضایی است که به یادگیرنده فرصت می دهد تا توان یادگیری خود را با بهره گرفتن از یک روش نوین و با بهره مندی از توانایی فضایی بالا ببرد. با فعال نمودن هوش فضایی می توان آموزش را توسعه داد. محیط چند رسانه ای با ارائه رنگ های متنوع، تصاویر و فیلم ها و انیمیشن ها، سمبل های گرافیکی و نرم افزارها طراحی، با امکان رسم خطوط و تصاویر و ایجاد پرسپکتیو و تجسم فضایی در آموزش مؤثر گام هایی برداشته است (فناخسرو، ۱۳۸۵، ص ۳).
هوش‌های چندگانه: