(A-6)
۳-A-تعمیم عملگرهای مجموعه ای مجموعه های فازی
می توان هر سه مورد از عملگرهای استاندار فازی را بنا بر شرایط و نیاز تعمیم داد. بر این اساس عملگرهای تی-نرم تعمیم یافته عملگر اشتراک و اس-نرم ه تعمیم یافته عملگر اجتماع تولید می شوند. به دلیل قابلیت کاربرد عملگرهای اشتراک در روش پیشنهادی برای بهینه سازی چند هدفه به طور اختصار عملگرهای تی نرم را توضیح می دهیم. برای مطالعه بیشتر علاقه مندان می توانند به زیمرمن مراجعه نمایند.

۱-۳-A-تی-نرم ها: اشتراک های فازی.
به طور کلی یک عملگر اشتراک که بر روی دو مجموعه فازی  و  تعریف می شود باید ویژگی های خاصی را دارا باشد که این ویژگی ها در یک دسته از توابع به نام تی-نرم ها یافت می گردد.اگر داشته باشیم  و  آنگاه شکل کلی یک تابع تی-نرم به قرار زیر می باشد:
(A-7)
یک تابع مانند  یک تی نرم است اگر به ازای هر  اصول موضوعه زیر را ارضا نماید:
اصل موضوعه T1: (شرایط مرزی)

اصل موضوعه T2: (یکنوائی)
اگر داشته باشیم  و  آنگاه
اصل موضوعه T3: (جابجائی)

اصل موضوعه T4: (شرکت پذیری)

با بهره گرفتن از اصل موضوعه چهارم مشاهده می شود که می توان مقادیر درجه عضویت مربوط به اشتراک بیش از دو مجموعه فازی را نیز محاسبه نمود. تی-نرم ها به دو دسته پارامتری و پارامتری تقسیم بندی می شوند. برخی از مهم ترین عملگرهای تی نرم غیرپارامتری در ادامه آورده می شود:
ضرب دراستیک
(A-8)
تفاضل کراندار
(A-9)
ضرب اینشتین
(A-10)
ضرب جبری
(A-11)
ضرب هاماخر
(A-12)
مینیمم
(A-13)
ارتباط بین عملگرهای فوق را می توان به صورت زیر ارائه نمود.
(A-14)
بر اساس کاربردهای خاص و برای انطباق عملگرها با کاربرد مزبور، ممکن است که نیازباشد تا عملگرهای دیگری تعریف گردد.در این راستا محققین مختلفی اقدام به ارائه عملگرهای پارامتری نموده اند که در ادامه برخی از مهم ترین عملگرهای تی-نرم پارامتری را ملاحظه می فرمائید :
عملگر اشتراک هاماخر
(A-15)
ییگر
(A-16)
دوبوا پراد
(A-17)
عملگر هاماخر در صورتی که  باشد به عملگر ضرب جبری تبدیل می گردد.عملگر ییگر در صورتی که  به عملگر مینیمم و اگر  به عملگر تفاضل کراندار همگرا می شود. همچنین عملگر دوبوا و پراد برای  به عملگر مینیمم و برای  به عملگر ضرب جبری تبدیل می شود.
۴-A- اعداد فازی
موقعیت های بسیاری در تصمیم گیری و بهینه سازی در دنیای واقعی وجود دارند که بیشتر از آنکه درگیر اعداد یا بازه های حقیقی باشیم با اعداد و بازه های “تقریبی” سر و کار داریم که به شکل ” اعدادی که نزدیک به یک مقدار حقیقی هستند” ویا ” احدادی که حول و حوش بازه ای از اعداد حقیقی هستند” بیان می شوند. می توان این گزاره های فازی را بوسیله مجموعه های فازی در  که به آنها اعداد فازی می گوییم مدلسازی نمود.
یک عدد فازی  ، یک مجموعه محدب نرمال فازی روی اعداد حقیقی  می باشد به گونه ای که داشته باشیم:
دقیقا یک  با مقدار تابع عضویت برابر یک وجود داشته باشد ( به این نقطه میانگین عدد فازی گفته می شود)
تابع عضویت  تکه ای و پیوسته باشد.
امروزه تعریف فوق اغلب تغییر می یابد. به دلیل سهولت انجام عملیات ریاضی توابع عضویت ذوزنقه ای معمولا استفاده می شوند که در تعریف بالا نمی گنجند.
۱-۴-A-عدد فازی مثلثی
یک مجموعه فازی به شکل  تعریف شده روی  که در آن داریم  یک عدد فازی مثلثی نامیده می شود و تابع عضویت آن به شکل زیر می باشد:
(A-18)

a₁ a₂ a₃