به صورت یک تنزل نمائی یا موج سینوسی به سمت صفر میل می کند

بعد از تأخیر q قطع می شود

MA(q)

بعد از تأخیر (p.q) به سمت صفر میل می کند

بعد از تأخیر (q.p) به سمت صفر میل می کند

ARMA(p.d)

۴ – ۸ – ۵ - پیش بینی
آخرین مرحله در مدل­سازی سری­های زمانی پارامترهای انتخابی پیش ­بینی است. پیش ­بینی برای دمای حداقل از مبنای ۳۰ سال محاسبه گردید. تمامی پیش ­بینی­ها در حدود ۹۵/۰مورد پیش ­بینی قرار گرفتند.

۴- ۸ – ۶ - فرایند اتورگرسیو
فرض کنید فرایند یک فرایند تصادفی محض با میانگین صفر و واریانس باشد آنگاه فرایند یک فرایند اتورگرسیو با مرتبه p خوانده می­ شود اگر داشته باشیم:
(۱۹ ) = + = +…. +
و یا به عبارت دیگر
(۲۰ ) = + = +…. =
و می­توان آن را با توجه به رابطه پسرو، یعنی:
(۲۱ ) (B)= - - -….-
(که در آن =۱ می باشد ) به صورت:
(۲۲) (B)φ
نوشت که در آن (p ،….۲ ،۱ =i ، ها پارامترهای ثا­بت می­باشند.
فرایند همواره وارون پذیر است، یعنی همیشه و به صورت یک رابطه خطی از مشاهدات حال و گذشته فرایند می­باشند. شرط لازم برای آن که (p)AR ایستا باشد آن است که همه ریشه ­های معادله ۰ = (B)φ از لحاظ قدر مطلق بزرگتر از واحد باشند (خارج از دایره ی واحد واقع شوند) و همچنین می­توان را به صورت یک ترکیب خطی نامتناهی از اغتشاشات خالص و گذشته نوشت.
(۲۳) =۱-
ضرایب …, , نشان داده شده در معادله فوق را می توان با بهره گرفتن از معادله(۲۴) به دست آمد.
(۲۴) B)ψ(B)=1)φ
که در آن
(۲۵) –B -1 =(B ) ψ
۴ – ۸ – ۷ - فرایند میانگین متحرک
فرض کنید فرایند یک فرایند تصادفی محض با میانگین صفر و واریانس باشد، فرایند یک فرایند میانگین متحرک با مرتبه q خوانده می­ شود .
(۲۶) - ….. =
یا به صورت
(۲۷) (B)=
که در آن
(۱۶) ( - …. - - - )=(B)
چند جمله­ای از مرتبه q و۱ = می­باشد. فرایند میانگین متحرک همواره ایستاست و برای اینگه وارون پذیر باشد باید ریشه ­های ۰ = از لحاظ قدر مطلق بزرگتر از واحد باشند (خارج دایره واحد قرار بگیرند). واضح است که هر فرایند (P)AR مسلمأ وارون پذیر است. همچنین هر فرایند وارون پذیری هم لزومأ ایستا نیست.
۴ – ۸ – ۸ - فرایند مرکب اتورگرسیو – میانگین متحرک
فرض کنید یک فرایند تصادفی محض با میانگین متحرک صفر و واریانس می­باشد . در این صورت با ترکیب مدل­های اتورگرسیو و میانگین متحرک فرایند آمیخته اتورگرسیو و میانگین متحرک ARMA با مرتبه (p,q) بدست می ­آید که به صورت رابطه (۲۸) نوشته می­ شود:
(۲۸) = + + …. + – …..
یا به عبارت دیگر :
(۲۹) (B) (B)φ
که در آن (B) φ و(B) چند جمله­ای­هایی با مرتبه p و q به صورت روابط (۳۰) و(۳۱) می­باشند .
(۳۰) B)= ( 1- - -….- )φ
(۳۱) ( - …. - - - )=(B)

فرایند (p,q) ARMA ایستا می­باشد هرگاه ریشه ­های ۰ = (φ(B بیرون از دایره واحد باشند وارون پذیر خواهد بود هرگاه ریشه ­های ۰ = (B) بیرون از دایره واحد قرار داشته باشند و این دو معادله هیچ ریشه مشترکی نداشته باشد.
۴ – ۸ – ۹ - تناوب در مدل های فصلی
در اغلب سری­های زمانی مؤلفه­ های متناوب با دوره S واحد وجود دارد که به آن تناوب فصلی گفته می­ شود .
یک فرایند میانگین متحرک مرتبه Q به صورت رابطه (۳۲)تعریف می­ شود :
(۳۲) ( ) =
که در آن
(۳۳) ()= ۱– …..-
است و تابع خود همبستگی آن در تأخیر­های Qs ،…….۳s ،۲s ،s K= غیر صفر و در تأخیرهای Qs <K صفر است .
فرایند اتورگرسیو مرتبه P نیز به صورت رابطه زیر (۳۴) نوشته می­ شود.