تعریف ۱-۲۷٫ اولین گروه بنیادی
مجموعه رده‌های هموتوپی‌راهی کمندهای بر پایه‌ی ، با عمل اولین گروه بنیادی نسبت به نقطه‌ی‌ پایه نامیده می‌شود. این گروه را با نمایش می‌دهیم.
تعریف ۱-۲۸٫ فرض کنیدیک نگاشت پیوسته و پوشا باشد. گوییم مجموعه‌ی باز از به وسیله‌ی به طور هموار پوشانده می‌شود هرگاه تصویر عکس را بتوان دربه صورت اجتماعی از مجموعه‌های باز جدا از هم نوشت به طوری‌که به‌ازای هر تحدید به همئومورفیسمی از به روی باشد. هر یک از مجموعه‌های را یک قاچ می‌نامیم.
تعریف ۱-۲۹٫ نگاشت پوششی
فرض کنیدیک نگاشت پیوسته و پوشا باشد. اگر هر نقطه‌ی از دارای همسایگی مانند باشد که به وسیله‌ی به‌طور هموار پوشانده شود آن‌گاه را یک نگاشت پوششی و را یک فضای پوششی می‌نامیم.
تعریف ۱-۳۰٫ بالابر
نگاشت را در نظر می‌گیریم. فرض کنیدیک نگاشت پیوسته از فضایی مانند به تویباشد. نگاشت را یک بالابر گوییم در صورتی‌که
لم ۱-۳۱٫ فرض کنیم یک نگاشت پوششی باشد و . هر مسیر در با نقطه‌ی آغاز ، مانند ، دارای بالابر یکتایی به مسیر با نقطه‌ی آغازی می‌باشد.
برهان. به مرجع [۱۷]، صفحه ۳۳۶ رجوع کنید.
تعریف ۱-۳۲٫ پوشش جهانی
اگر یک فضای همبند ساده ویک نگاشت پوششی باشد، آن‌گاه را یک فضای پوششی جهانی می‌نامیم.
اگر همبندراهی موضعی باشد و و دو فضای پوششی همبند‌ساده‌ی باشند، آن‌گاه همئومورفیسمی مانند موجود است که .
تعریف ۱-۳۳٫ رسته
رسته‌ای مثل ?خانواده‌ای متشکل از اشیاء است با این ویژگی که
۱- به ازای هر دو شی مثل و مجموعه‌ای متناظر می‌شود که با (مجموعه‌ی ریخت‌های از به ) نشان داده می‌شود و دارای این خاصیت است که به‌ازای هر چهار شیء، ، و که ،
۲-به‌ازای هر سه شیء مثل ، و ، تابع
موجود است که
به‌ازای هر چهار شیء، ، و ، اگر، و ، آن‌گاه.
به‌ازای هر شیء مثل ، عضوی از مثل موجود است که به‌ازای هر عضو از مثل و هر عضو از مثل ، داشته باشیم:
تعریف ۱-۳۴٫ تابعگون
فرض کنید ? و دو رسته باشند. تابعگون همورد (پادورد) از به زوجی متشکل از دو تابع است: یکی تابع شیء که به هر شیء از مثل ، شیءاز را نسبت می‌دهد و دیگری تابع ریختار که آن را نیز بانشان می‌دهیم و به هر ریختار از ? مثل ، ریختاری از مثل () نسبت می‌دهد که
۱- به‌ازای هر شیء از ? مثل ، .
۲- به‌ازای هر دو ریختار ازمثل و ، داشته باشیم
()
تعریف ۱-۳۵٫ یکریختی طبیعی
فرض کنید و تابعگون‌هایی از رسته‌ی ? به رسته‌ی ? باشند. تبدیل طبیعی ، تابعی است که برای هر شیء از ?، ریخت از ? را چنان نسبت می‌دهد که به‌ازای هر ریخت از ?، . به‌عبارت دیگر نمودار زیر جابه‌جایی است:

نمودار۱٫
اگر برای هر ، یکریختی باشد، آن‌گاه را یکریختی طبیعی می‌نامیم.
تعریف ۱-۳۶٫ هم‌ارزی رسته‌ها
اگر تابعگون‌های وو یکریختی‌های طبیعی و موجود باشند، رسته‌های ?و ? را هم‌ارز گوییم.
قضیه ۱-۳۸٫ فرض کنید یک گروه و زیرمجموعه‌ای غیرتهی از باشد. در این‌صورت( زیر گروه است) اگر و فقط اگر به‌ازای هر ، داشته باشیم .
برهان. به مرجع [۷]، مراجعه کنید.
قضیه ۱-۴۰٫ فرض کنید یک حلقه و یک زیرمجموعه‌ی غیرتهی از باشد. در این‌صورت یک زیرحلقه از است اگر وفقط اگر
۱- به‌ازای هر ، .
۲- به‌ازای هر ، .
برهان. به مرجع [۷]، مراجعه کنید.
نکته۱-۴۱٫ اگر و دو حلقه باشند، با تعریف ضرب‌ گروهی ، ضرب‌ حلقه‌ای و به عنوان معکوس گروهی ، جایی‌که معکوس در و معکوس در می‌باشد و همچنین با درنظر گرفتن به عنوان عنصر همانی ، جایی‌که عضو همانی و عضو همانیمی‌باشد، نیز یک حلقه است.
تعریف ۱-۴۲٫ همریختی گروهی
فرض کنید و دو گروه باشند. یک تابع را یک همریختی از گروه به گروه نامند اگر به‌ازای هر ، .
تعریف ۱-۴۳٫ همریختی حلقه‌ای
فرض کنید و دو حلقه و یک تابع باشد. در این‌صورت را یک همریختی حلقه‌ای از به گوییم اگر به‌ازای هر ،
۱-
۲-
تعریف ۱-۴۴٫ فرض کنید یک حلقه و یک زیرحلقه از باشد. در این‌صورت
۱- اگر به‌ازای هر و هر ، ، را یک ایده‌آل چپ گوییم.
۲- اگر به‌ازای هر و هر ، ،را یک ایده‌آل راست گوییم.