در این بخش توضیح مختصری درباره تئوری تنظیم سطح و نحوه حل معادله همیلتون-ژاکوبی به کمک روش تفاضل محدود داده شد. در ادامه توضیح خواهیم داد که چگونه می­توانیم از این روش جهت حل مساله پراکندگی معکوس استفاده کنیم. تنها درجه آزادی در معادله-همیلتون ژاکوبی که با گذشت زمان باعث تغییر شکل حدس اولیه (شرایط اولیه) می­ شود،  یا همان سرعت تغییر شکل جسم است. بنابراین  را باید به گونه ­ای تعیین کنیم که به مرور و با حل مکرر معادله همیلتون-ژاکوبی و استخراج سطح صفر تابع تنظیم سطح به جواب مورد نظر که تعیین شکل و موقعیت جسم است برسیم. به عبارت دیگر پراکندگی معکوس به روش تنظیم سطح از دسته حالات کیفی (تعیین شکل و موقعیت جسم) است. هرچند که اخیراً از این تئوری در راستای استخراج مشخصات فیزیکی و جنس اجسام دوبعدی استفاده شده است. بکارگیری روش تنظیم سطح در این راستا باتوجه به ویژگی­های خاصی که این روش دارد می ­تواند در مسیر شناسایی جنس مختلف چند جسم داخل یک محیط محاسباتی بسیار سودمند باشد.

پیاده سازی روش تنظیم سطح در شناسایی موقعیت و شکل اجسام فلزی دوبعدی
تئوری تنظیم سطح که تشریح شد، درحقیقت برای نشان دادن موقعیت اجسام به کمک روابط ریاضی است. با اعمال اندکی تغییر و کمک گرفتن از اطلاعات میدان ناشی از محیط محاسباتی می­توان از این روش کمک گرفته و موقعیت و شکل اجسام را استخراج کرد. شاخه­ای از روش­های پراکندگی معکوس از تابعی به عنوان تابع هزینه استفاده می­ کنند. تابع هزینه عبارت است از مجموع مربعات اختلاف میدان­های ناشی از جسم پراکنده کننده و میدان­های ناشی از جسمی که در داخل قلمرو محاسباتی مدنظر حدس زده­ایم. باید تلاش شود این تابع با اعمال هدفمند تغییرات برروی جسم اولیه به تدریج مقدار نزولی داشته باشد تا در نهایت به مقدار به اندازه کافی کوچک برسد. در جایی که مقدار تابع هزینه صفر شد مشخص می­ شود که جسم حدس زده شده معادل همان جسم اصلی و مجهول مساله است. این میدان­های تحت بررسی می ­تواند الکتریکی یا مغناطیسی باشد. روابطی که در ادامه توصیف شده است برمبنای میدان الکتریکی است. به عبارت دیگر مد مورد بررسی، مد TM است. در این مد میدان الکتریکی در راستای انتشار موج وجود ندارد. شکل ‏۳–۴ را درنظر بگیرید. با توجه به شکل تابع هزینه به صورت زیر است:
(۳-۳۰)
در رابطه (۳-۳۰)  تابع هزینه،  کانتور^[۴۷] جسم تغییر شکل دهنده در لحظه t،  نمایشگر تعداد نقاط تابش موج از فرستنده به سمت جسم،  بیانگر تعداد نقاط جمع­آوری اطلاعات ناشی از موج پراکنده شده از جسم پراکنده کننده،  زاویه تابش موج از فرستنده  ام،  زاویه محاسبه میدان در موقعیت  ناشی از تابش فرستنده  ام،  میدان پراکنده شده محاسبه شده ناشی از جسم تغییر شکل دهنده^[۴۸] در موقعیت  ام ناشی از فرستنده  ام و  میدان پراکنده شده از جسم واقعی در همان موقعیت هستند.
اکنون سوالی که مطرح است این است که آیا می­ شود از طریق تئوری تنظیم سطح فرایندی ایجاد کرد که این تابع هزینه به مرور و با گذشت زمان به سمت صفر میل کند؟ جواب مثبت است. در ادامه به چگونگی این ارتباط اشاره خواهد شد.

شکل ‏۳–۴: موقعیت آنتن ­های فرستنده و گیرنده اطراف جسم فلزی مجهول[۱۵]
تعیین مقادیر مناسب سرعت تغییر شکل یا همان ضریب معادله همیلتون-ژاکوبی
برای این­که تابع هزینه با گذشت زمان به سمت صفر میل کند باید نسبت به زمان یک تابع نزولی باشد. به عبارت دیگر باید مشتق آن نسبت به زمان به ازای هر ورودی مقداری منفی داشته باشد. با توجه به اینکه در رابطه(۳-۳۰) میدان پراکندگی ناشی از جسم تغییر شکل دهنده تابعی از منحنی بیرونی آن است و این منحنی برحسب زمان تغییر شکل می­دهد، چنان­که در فصل دوم توضیح داده شد، بنابراین مشتق تابع هزینه برحسب زمان مقداری غیر صفر دارد. دقت شود که رابطه مربوط به میدان در حوزه فرکانس است و مشتق­گیری برحسب زمان فقط نسبت به تغییرات شکل جسم است که با گذشت زمان تغییر می­ کند. این رابطه به قرار زیر است:[۱۵]
(۳-۳۱)
که در این رابطه، الگوی تشعشعی میدان الکتریکی پراکنده شده ناحیه دور برای مد TM طبق معادله زیر بدست می ­آید.[۱۵]
(۳-۳۲)
در رابطه (۳-۳۲)،  مختصات هر نقطه از جسم فلزی،  عدد موج،  چگالی جریان ناشی از فرستنده موقعیت  در مختصات  جسم فلزی، و  است. انتگرالگیری در کانتور جسم یا همان  انجام می­گیرد. در نظر داشته باشیم که موارد و روابط توصیف شده در بالا برای جسم فلزی استوانه­ای با سطح مقطع دلخواه و ارتفاع بینهایت در جهت  است. به کمک اصل هم­پاسخی رابطه زیر را می­توان بدست آورد.[۱۶]
(۳-۳۳)
در رابطه بالا،  سرعت جابجایی نقطه  در لایه بیرونی فلز و  جریان در مختصات  لایه بیرونی به­ازای تابش از موقعیت  است که به آن جریان الحاقی^[۴۹] می­گویند. انتگرال­گیری برروی سطح فلز (  ) انجام می­ شود.[۱۵] طبق روابط بالا و با اندکی محاسبات و ساده­سازی به رابطه زیر در محاسبه مشتق تابع هزینه نسبت به زمان می­رسیم.[۱۲] از اینجا به بعد برای جلوگیری از اختلاط مطالب، سرعت تغییر شکل جسم را به جای  با  نشان خواهیم داد.

(۳-۳۴)
با دقت در معادله (۳-۳۴) رابطه بین تابع هزینه و یکی از فاکتورهای معادله همیلتون-ژاکوبی که ضریب سرعت است به وضوح نمایان می­ شود. با تعریف مناسب سرعت براساس همین رابطه و تعیین مناسب آن به طوری که مقدار مشتق تابع هزینه منفی باشد، می­توان امیدوار بود که با حل معادله همیلتون-ژاکوبی به شکل و موقعیت جسم یا اجسام فلزی دست بیابیم. ساده­ترین مقداری که می­توان برای سرعت درنظر گرفت مقدار زیر است که به روشنی معادله (۳-۳۴) را منفی می­ کند.[۱۵]

(۳-۳۵)
که  ضریب نرمالیزاسیون مثبت است.
درنتیجه با محاسبه سرعت طبق رابطه (۳-۳۵) که ارتباط به میدان جسم اصلی و میدان جسم تغییر شکل دهنده دارد، و قرار دادن آن در رابطه معادله همیلتون-ژاکوبی و حل این معادله، می­توان به موقعیت و شکل کلی جسم دست یافت.
حالا می­توانیم باتوجه به توضیحاتی که داده شد، الگوریتم بازیابی شکل و موقعیت جسم به کمک روش تنظیم سطح را به صورت زیر بیان کنیم.
الگوریتم شناسایی موقعیت و شکل جسم فلزی با کمک گرفتن از روش تنظیم سطح

1. 1. حدس اولیه تابع تنظیم سطح به شکل تابع علامت فاصله^[۵۰]و استخراج سطح صفر آن

برای مثال اگر بخواهیم سطح مقطع حدس اولیه خود را دایره­ای به شعاع  و مرکز  در نظر بگیریم با معادله زیر به عنوان شرایط اولیه معادله همیلتون-ژاکوبی آغاز می­کنیم.
(۳-۳۶)
مقدار  به­ازای هر سلول  برروی سطح گسسته­ شده محیط محاسباتی از رابطه (۳-۳۶) بدست خواهد آمد. به وضوح از این معادله بر می ­آید که اگر نقطه­ای درون دایره به شعاع  و مرکز  انتخاب شود و در معادله قرار گیرد مقدار آن را منفی و اگر در خارج آن انتخاب شود مقدار  را مثبت می­ کند. درصورتی­که این نقطه روی دایره باشد مقدار معادله صفر می­ شود.

2. 2. پیدا کردن میدان دور ناشی از این حدس اولیه و مقایسه با میدان ناشی از جسم واقعی(محاسبه تابع هزینه). در محاسبه میدان دور می­توان از روش ممان استفاده کرد. محاسبه مدTM میدان دور به کمک روش ممان و نتایج شبیه­سازی در پیوست توصیف شده است. در صورتی که مقدار تابع هزینه به اندازه کافی کوچک باشد(کمتر از یک­میلیونیم مقدار قابل قبولی است) شناسایی انجام شده است، در غیر این صورت چرخه زیر تکرار می­ شود:

الف. محاسبه سرعت به­وسیله رابطه (۳-۳۵) و قرار دادن آن در معادله همیلتون-ژاکوبی و حل آن از طریق روش تفاضل محدود که در اوایل فصل توضیح داده شد.
با دقت در رابطه (۳-۳۵) پی می­بریم که محاسبه سرعت فقط در  هایی که المان­های کانتور جسم فلزی هستند انجام می­ شود. ولی رابطه مربوط به حل معادله­ همیلتون-ژاکوبی که در رابطه (۳-۱۳) بیان شده است به مولفه سرعت در کلیه سلول­های محیط محاسباتی نیاز دارد. درصورتی­که به همه سلول­ها مقداری به عنوان سرعت اختصاص دهیم گسترش سرعت^[۵۱] انجام داده­ایم[۱۳]. ساده­ترین روش گسترش سرعت، اختصاص دادن سرعت نزدیکترین المان سطح جسم فلزی به سلول­هاست. به عبارت ساده­تر، سرعت در هر سلول برابر سرعت تعریف شده در المانی از فلز است که کمترین فاصله را با آن سلول دارد.[۱۳]
به این ترتیب و پس از تعیین سرعت برای تک­تک سلول­ها و داشتن شرایط اولیه، معادله همیلتون- ژاکوبی را با ثابت زمانی که از طریق اعمال شرط پایداری بدست آورده­ایم با روش تفاضل محدود حل می­کنیم.
ب. تعیین سطح صفر  بدست آمده در گام قبلی و پیدا کردن میدان دور ناشی از این سطح فلزی و مقایسه با میدان ناشی از جسم واقعی(محاسبه تابع هزینه)، در صورتی که مقدار تابع هزینه به اندازه کافی کوچک باشد شناسایی انجام شده است. در غیر این صورت به قسمت الف رفته و این روند را تا رسیدن به نتیجه مطلوب تکرار می­کنیم.
طبق رابطه (۳-۳۵) برای تعیین سرعت در المان­های سطح بیرونی جسم فلزی جریانی با عنوان جریان الحاقی نیاز است. همانطور که اشاره شد جریان الحاقی چگالی جریانی است که از منابع فرضی حاصل می­ شود که با اختلاف  رادیان تقدم نسبت به موقعیت نقاط مشاهده قرار می­گیرد. به عبارت دیگر به­ازای هر تکرار روند محاسبه، به دوبار محاسبه میدان دور از طریق روش ممان نیاز است. برای جلوگیری از این قضیه، اولاً نقاط ارسال موج را با فاصله مساوی و به طور یکنواخت دورتادور محیط محاسباتی قرار می­دهیم. ثانیاً نقاط مشاهده را زیرمجموعه­ای از نقاط ارسال موج درنظر می­گیریم. در این حالت با یک­بار محاسبه روش ممان و انتخاب مقادیر مناسب چگالی جریان به­دست آمده به مقادیر جریان الحاقی می­رسیم.
روش مربعات پیش رونده
در محاسبه میدان دور به روش ممان مطلبی که جلب نظر می­ کند شناسایی کانتور است. در روش تنظیم سطح اساس کار تغییر شکل جسم فلزی و مقایسه میدان آن در هر مرحله با میدان واقعی است. به عبارت دیگر پس از هر مرحله حل معادله همیلتون-ژاکوبی و استخراج سطح صفر آن، برای محاسبه میدان شکل بدست آمده نیاز به کانتور آن جسم داریم. یک روش بدست آوردن کانتور، استفاده از روش مربعات پیش­رونده است. در این روش به­ازای هر سلول، سه سلول اطراف آن را نیز که باهم تشکیل یک مربع می­ دهند، مورد بررسی قرار می­دهیم. به این صورت که مقادیر  سلول­ها را دوبه­دو در هم ضرب می­کنیم. درصورتی که حاصل ضرب مقداری مثبت شد نتیجه می­گیریم که هردو سلول در داخل یا خارج سطح صفر  هستند و حالت خاصی پیش نیامده است. ولی اگر حاصل ضرب مقداری منفی شد درنتیجه یکی از سلول­ها در داخل و دیگری در خارج سطح صفر  قرار گرفته­اند. با این توضیحات، با یکی از حالات شکل ‏۳–۵ مواجه خواهیم شد.

شکل ‏۳–۵: حالات مختلف گوشه­ های چهار سلول کنار هم در داخل یا خارج منحنی
در این حالت در صورتی که حاصل­ضرب مقادیر در سلول­ها مقداری منفی باشد حد وسط بین آن دو سلول را مشخص می­کنیم. در این صورت در هر مربع به یکی از حالات شکل ‏۳–۶ می­رسیم. در این حالت طول هر ضلع را که دو سر آن، نقاط وسط اضلاع مطلوب است، به عنوان المان و حد وسط آن را مختصات کانتور شکل درنظر می­گیریم. سپس به سلول بعدی و درواقع مربع بعدی می­رویم (مربعات پیش­رونده^[۵۲]) و پس از پایان یک سطر سراغ سطر بعدی رفته و این پیشروی را تا پایان یافتن سطح محاسباتی ادامه می­دهیم. حالات مختلف زیر(شکل ‏۳–۶) در هر مربع ایجاد می­ شود. با قرار دادن این مربعات کنار یکدیگر به کانتور جسم و به عبارت دیگر مجموعه ­ای از نقاط و طول آنها که لازمه به­دست آوردن میدان با روش ممان است می­رسیم.[۱۷]

شکل ‏۳–۶: : در هر مربع، طول پیکان به­ عنوان المان و نقطه میانی آن به عنوان مختصات المان درنظر گرفته می ­شود
روش تنظیم سطح همان­طور که بیان شد دو ویژگی اساسی دارد. اول این که به هیچ اطلاعات اولیه­ای برخلاف بسیاری از روش­های پراکندگی معکوس نیاز ندارد و تنها ورودی مسئله همان مقادیر میدان دور اطراف محیط محاسباتی است. ثانیاً قابلیت شناسایی چند جسم جدا از هم در نقاط دلخواه را دارا می­باشد، ولی در عوض روشی بسیار زمان­بر است. به­ طوری که برای شناسایی یک جسم ممکن است به بیش از ۱۰ ساعت زمان پردازش بسته به کیفیت سیستمی که تحلیل را انجام می­دهد نیاز داشته باشد. در فصل بعدی چند نمونه شبیه­سازی با این روش ارائه خواهد شد.
نتایج شبیه سازی
در این فصل تعدادی از نتایج ارائه شده است. سعی شده است که حالت­ها طوری انتخاب شود تا کلیه حالت­های ممکن پراکندگی اجسام فلزی در داخل محیط درنظر گرفته شود. در همه شبیه­سازی­های انجام شده موارد زیر یکسان است.

1. محیط محاسباتی صفحه­ای مربع شکل به طول ۸۰ سانتی­متر است که هر طول آن ۲۰۰ قسمت شده است و فاصله هر دو سلول مجاور ۴میلی­متر است. شبیه­سازی­ها در حالت دوبعدی است و فرض شده که اشکال مختلف، استوانه­های فلزی با سطح مقطع دلخواه و ارتفاع بی­نهایت در راستای z هستند.