در نهایت، با توجه به محدودیت‌های بالا و نحوه محاسبه متغیرها، ۶۷ شرکت طی سال‌های ۱۳۸۷ الی ۱۳۹۱ برای برآورد مدل‌های تحقیق انتخاب شده است.
۳-۵- روش تحقیق و گردآوری داده‌ها
این تحقیق کاربردی است و طرح آن از نوع نیمه تجربی و پس رویدادی است. بنابراین، با بهره گرفتن از اطلاعات گذشته انجام می‌شود. این روش زمانی مورد استفاده قرار می‌گیرد که داده‌ها از محیطی که به گونه‌ طبیعی وجود داشته یا از واقعه‌ای که بدون دخالت مستقیم محقق رخ داده، فراهم شود. به بیان دیگر، این روش برای انجام تحقیقاتی بکار می‌رود که محقق در جست و جوی علت یا علل روابط معینی است که در گذشته رخ داده و تمام شده است. بنابراین، این نوع طرح تحقیق از روایی بیرونی بالایی برخوردار است (نمازی، ۱۳۷۹: ۳۹).
برای گردآوری اطلاعات نظری تحقیق نیز، از نشریات و کتب و همچنین پایگاه‌های اطلاعاتی در دسترس استفاده می‌شود. همچنین، داده‌های مورد نیاز برای تجزیه و تحلیل، از اطلاعات صورت‌های مالی حسابرسی شده و گزارش هیأت‌مدیره به مجمع عمومی عادی شرکت‌ها استخراج می‌شود. به این منظور، بخش عمده‌ای از اطلاعات از طریق پایگاه‌های اطلاعاتی سازمان بورس اوراق بهادار تهران و پایگاه اطلاعاتی متعلق به مرکز مدیریت پژوهش و مطالعات اسلامی سازمان بورس اوراق بهادار تهران و سایر اطلاعات نیز از نرم افزارهای ره­آورد نوین و تدبیرپرداز استخراج می‌شود. در همین راستا، ابتدا داده ­های خام مربوط به متغیرهای تحقیق، برای شرکت‌های نمونه و سال‌های مورد بررسی جمع­آوری شده و با بهره گرفتن از نرم افزار Excel نسخه ۲۰۱۰، متغیرهای اصلی محاسبه می‌شوند. سپس با بهره گرفتن از نرم‌افزار EViews نسخه ۷، داده ­های گردآوری شده تجزیه و تحلیل شده و آمار توصیفی متغیرها و آزمون معناداری فرضیه ­ها مورد بررسی قرار خواهد گرفت.
۳-۶- مدل تحقیق
در این تحقیق، با توجه به نوع داده‌ها و روش‌های تجزیه و تحلیل موجود، برای آزمون فرضیه‌ها از مدل کلی رگرسیون داده‌های ترکیبی به شرح زیر استفاده می‌شود:

که در آن، : متغیرهای وابسته مدل شامل عدم کارایی سرمایه‌گذاری، سرمایه‌گذاری بیشتر از حد و سرمایه‌گذاری کمتر از حد، : مقدار ثابت، : ضرایب متغیرهای مستقل، : معیارهای هزینه‌های نمایندگی شامل نسبت هزینه‌های عملیاتی به فروش، نسبت گردش دارایی‌ها و تعامل بین فرصت‌های رشد و جریان‌های نقدی آزاد به عنوان متغیرهای مستقل، : ضرایب متغیرهای کنترلی مدل، : متغیرهای کنترلی مدل شامل اهرم مالی و اندازه شرکت و : جمله اخلال مدل است.
با توجه مدل کلی بالا، مدل‌های مورد استفاده برای هر یک از فرضیه‌های اصلی تحقیق به شرح زیر ارائه شده است:
مدل مورد استفاده برای آزمون فرضیه‌های فرعی مربوط به فرضیه اصلی اول:

که در آن، متغیر وابسته عبارت از : عدم کارایی سرمایه‌گذاری شرکت در دوره ؛ : مقدار ثابت مدل و : ضرایب متغیرهای مدل؛ متغیرهای مستقل مدل شامل: : نسبت هزینه‌های عملیاتی به فروش شرکت در دوره ، : نسبت گردش دارایی‌های شرکت در دوره و : تعامل بین فرصت‌های رشد و جریان‌های نقدی آزاد شرکت در دوره ؛ متغیرهای کنترلی مدل شامل: : اهرم مالی شرکت در دوره و : اندازه شرکت در دوره ، و : جمله اخلال مدل است.
مدل مورد استفاده برای آزمون فرضیه‌های فرعی مربوط به فرضیه اصلی دوم:

که در آن، متغیر وابسته عبارت از : سرمایه‌گذاری بیشتر از حد شرکت در دوره ؛ : مقدار ثابت مدل و : ضرایب متغیرهای مدل؛ متغیرهای مستقل مدل شامل: : نسبت هزینه‌های عملیاتی به فروش شرکت در دوره ، : نسبت گردش دارایی‌های شرکت در دوره و : تعامل بین فرصت‌های رشد و جریان‌های نقدی آزاد شرکت در دوره ؛ متغیرهای کنترلی مدل شامل: : اهرم مالی شرکت در دوره و : اندازه شرکت در دوره ، و : جمله اخلال مدل است.
مدل مورد استفاده برای آزمون فرضیه‌های فرعی مربوط به فرضیه اصلی سوم:

که در آن، متغیر وابسته عبارت از : سرمایه‌گذاری کمتر از حد شرکت در دوره ؛ : مقدار ثابت مدل و : ضرایب متغیرهای مدل؛ متغیرهای مستقل مدل شامل: : نسبت هزینه‌های عملیاتی به فروش شرکت در دوره ، : نسبت گردش دارایی‌های شرکت در دوره و : تعامل بین فرصت‌های رشد و جریان‌های نقدی آزاد شرکت در دوره ؛ متغیرهای کنترلی مدل شامل: : اهرم مالی شرکت در دوره و : اندازه شرکت در دوره ، و : جمله اخلال مدل است.
۳-۷- متغیرهای تحقیق
به منظور آزمون فرضیه‌ها، متغیرهای این تحقیق به سه گروه متغیرهای مستقل، وابسته و کنترلی تقسیم می‌شوند. متغیر مستقل و وابسته دو نوع از متغیرهایی هستند که در تحقیقات رفتاری، معمولاً برای آزمون فرضیه ­ها مورد استفاده قرار می­گیرند. متغیر مستقل که گاه متغیر درونداد یا محرک نامیده می‌شود، علت احتمالی متغیر وابسته است. متغیر وابسته نیز، معلول احتمالی است که گاه متغیر پاسخ یا برونداد نامیده می‌شود. متغیرهایی که لازم است تأثیر آن‌ ها از بین برود نیز، متغیرهای کنترل نامیده می‌شود (آذر و مؤمنی، ۱۳۸۴: ۱۲-۱۱).
۳-۷-۱- متغیر وابسته
در این تحقیق، همانند یانگ و جیانگ (۲۰۰۸) از عدم کارایی سرمایه‌گذاری، سرمایه‌گذاری بیشتر از حد و سرمایه‌گذاری کمتر از حد به عنوان متغیرهای وابسته استفاده می‌شود. یانگ و جیانگ (۲۰۰۸) در تحقیق خود سرمایه‌گذاری را به عنوان وجه نقد پرداختی شرکت برای تحصیل یا ساخت دارایی‌های ثابت، دارایی‌های نامشهود یا سایر دارایی‌های غیرجاری تقسیم بر کل دارایی‌های آغاز دوره، در نظر گرفته‌اند.
برای محاسبه سرمایه‌گذاری بیشتر (کمتر) از حد نیز از مدل بیدل و همکاران (۲۰۰۹) به صورت زیر استفاده می‌شود:

در مدل بالا، : نشان‌دهنده رشد فروش است که از تقسیم تغییرات فروش به فروش اول دوره، حاصل می‌شود و : معیار سرمایه‌گذاری آتی است که روش محاسبه آن در قسمت قبل توضیح داده شد. اگر سرمایه‌گذاری سال آینده (آتی) متفاوت از رشد فروش باشد، شرکت با عدم کارایی سرمایه‌گذاری مواجه است. در این صورت، اگر سرمایه‌گذاری سال آینده (آتی) بیشتر از رشد فروش باشد، باقیمانده مدل بالا مثبت و به این معناست که سرمایه‌گذاری بیشتر از حد انجام شده و اگر سرمایه‌گذاری سال آینده کمتر از رشد فروش باشد، باقیمانده مدل بالا منفی و به این معناست که سرمایه‌گذاری کمتر از حد انجام شده است.
۳-۷-۲- متغیرهای مستقل
متغیرهای مستقل تحقیق حاضر، معیارهای هزینه‌های نمایندگی است که به شرح زیر اندازه گیری می‌شود:
نسبت هزینه‌های عملیاتی به فروش: نسبت هزینه‌های عملیاتی به فروش، معیاری از افراط‌گرایی مدیریت در انجام مخارج اختیاری است. نسبت مزبور، چگونگی کنترل هزینه‌های علمیاتی شرکت توسط مدیران را اندازه گیری کرده و به عنوان معیار مستقیم هزینه‌های نمایندگی به کار می‌رود. به عبارت دیگر هر چه این نسبت بالاتر باشد هزینه‌های نمایندگی بیشتر خواهد بود (آنگ و همکاران، ۲۰۰۰: ۸۹).

که در آن، : هزینه‌های عملیاتی، و : فروش شرکت i در دوره t است.
نسبت گردش دارایی‌ها: این نسبت، معیاری از کیفیت مدیریت دارایی‌های شرکت‌هاست. نسبت گردش دارایی‌ها، چگونگی استفاده و بهره‌وری از دارایی‌های شرکت توسط مدیران، برای ایجاد فروش بیشتر در قبال استفاده از منابع در اختیار مدیر را اندازه‌گیری کرده و به عنوان معکوس برای هزینه‌های نمایندگی به کار می‌رود، به این معنی که هر چه ابن نسبت بالاتر باشد، هزینه‌های نمایندگی کمتر خواهد بود (آنگ و همکاران، ۲۰۰۰، ۸۹).
AssTit =
که در آن، Assett: میانگین مجموع دارایی‌های شرکت i در دوره t است.
تعامل بین فرصت‌های رشد و جریان‌های نقدی آزاد: به اعتقاد جنسن (۱۹۸۶)، ترکیب جریان‌های نقدی آزاد با فرصت‌های رشد پایین، باعث ایجاد هزینه‌های نمایندگی می‌شود. نگهداری جریان‌های نقدی آزاد موجب کاهش توانایی بازار سرمایه برای نظارت بر تصمیم‌های مدیران می‌شود. از این رو، افزایش جریان‌های نقدی آزاد، موجب افزایش منابع تحت کنترل و قدرت مدیران می‌شود که در نتیجه افزایش هزینه‌های نمایندگی را به دنبال خواهد داشت. در تحقیق حاضر از نسبت Q- ‌توبین که عموماً به عنوان معیاری از عملکرد مدیریت به کار می‌رود، به عنوان شاخص و معیار فرصت‌های رشد استفاده می‌شود. اعتقاد بر این است که عملکرد ضعیف مدیریت، احتمالاً باعث اخذ تصمیم‌هایی می‌شود که هزینه‌های نمایندگی را افزایش خواهد داد. از این رو، نسبت Q‌- توبین پایین‌تر که بیانگر عملکرد ضعیف مدیران است، نشان دهنده وجود مشکلات نمایندگی است. در تحقیق حاضر، مطابق با تحقیقات مهدوی و منفرد مهارلوئی (۱۳۹۰) و دوکاس و همکاران (۲۰۰۰) نسبت Q- توبین از طریق فرمول زیر محاسبه می‌شود:

که در آن؛ MVOCE: ارزش بازار سهام عادی در پایان سال، PSLV: ارزش نقد شوندگی سهام ممتاز در پایان سال، BVOLTD: ارزش دفتری بدهی‌های بلند مدت در پایان سال، BVOSHTA: ارزش دفتری دارایی­ های جاری در پایان سال، BVOSHTL: ارزش دفتری بدهی های جاری در پایان سال، و BVOTA: ارزش دفتری کل دارایی­ ها در پایان سال است.
تصویر درباره بازار سهام (بورس اوراق بهادار)
در تحقیق حاضر، مطابق با تحقیقات مهدوی و منفرد مهارلوئی (۱۳۹۰)، دوکاس و همکاران (۲۰۰۰) و جرکوس و همکاران[۶۷] (۲۰۱۰)، شرکت­های مورد بررسی با بهره گرفتن از میانه نسبت Q- توبین به دو گروه شرکت‌های با رشد بالا و شرکت­های با رشد پایین تقسیم می‌شود. به شرکت­هایی که در آن­ها نسبت Q- توبین بالاتر از میانه باشد عدد صفر، و به شرکت­هایی که در آن­ها نسبت Q- توبین پایین‌تر از میانه باشد عدد یک اختصاص می­یابد. ضمناً، برای محاسبه جریان­های نقدی آزاد نیز، از مدل لی‌هن و پولسن[۶۸] (۱۹۸۹) به شرح زیر استفاده می‌شود:

که در آن؛ FCF: جریان­های نقدی آزاد، OIBD: سود عملیاتی قبل از کسر هزینه استهلاک، CITAXP: مالیات بر درآمد پرداختی شرکت، INTEXP: هزینه­ های بهره، DIVP: سودهای پرداختی به سهامداران، و TA: جمع ارزش دفتری دارایی­ های شرکت است. با ضرب دو عامل بالا در یکدیگر (نسبت Q- توبین و جریان­های نقدی آزاد)، هزینه‌های نمایندگی بدست می­آید. در نتیجه، بالاتر بودن حاصل ضرب مذکور بیانگر هزینه‌های نمایندگی بالاتری برای شرکت است ( به نقل از مهدوی و منفرد مهارلوئی، ۱۳۹۰).
۳-۷-۳- متغیرهای کنترلی
دلیل استفاده از متغیر‌های کنترلی، کنترل تأثیر عوامل شناخته شده و ناشناخته در رابطه بین متغیر‌های وابسته و مستقل اصلی است. در پزوهش حاضر، مطابق با تحقیقات وردی (۲۰۰۶)، بیدل و همکاران (۲۰۰۹) و گارسیا لارا و همکاران (۲۰۱۰) از متغیر‌های کنترلی به شرح زیر استفاده می‌شود.
اهرم مالی: اهرم مالی به حد و اندازه­ای که یک شرکت از طریق وام یا استقراض، تأمین­مالی نموده است، دلالت دارد. به‌عبارت دیگر، اهرم مالی بیانگر میزان هزینه­ های ثابت مالی از قبیل بهره یا سود ثابت وام­ها در شرکت است. یکی از مهم­ترین مقیاس­های اهرم، نسبت بدهی است که از تقسیم بدهی­ها به دارایی­ ها بدست می ­آید (بزرگ­اصل، ۱۳۸۵). علی­رغم سودمندی شاخص ­های مبتنی بر بازار برای سنجش اهرم مالی و سودآوری، به­نظر می‌رسد به­ دلیل وجود وقفه­های معاملاتی طولانی مدت یا اندک بودن حجم مبادلات سهام بسیاری از شرکت­های مورد بررسی، کاربرد شاخص ­های مذکور از قابلیت اتکای کافی برخوردار نمی ­باشد. افزون بر این، یافته­ های تحقیقات تجربی انجام شده در بورس اوراق بهادار تهران حاکی از نبود کارایی، حتی در سطح ضعیف است (نمازی و شوشتریان، ۱۳۷۴ و نمازی، ۱۳۸۲). بنابراین، به‌نظر می‌رسد متغیرهای مبتنی بر ارزش دفتری از قابلیت اتکای بیشتری برخوردار باشند. بنابراین، در تحقیق حاضر از نسبت کل بدهی به کل دارایی‌ها به عنوان معیار اهرم مالی استفاده می‌شود.
اندازه شرکت: برای سنجش اندازه شرکت از معیارهای متفاوتی از قبیل ارزش بازار، فروش و مجموع دارایی‌های شرکت استفاده می­ شود. استفاده از ارزش بازار در شرکت­های پذیرفته شده در بورس اوراق بهادار تهران، به­ دلیل وجود شرایط تورمی اقتصاد ایران و نامربوط بودن اقلام دارایی­ ها بر اساس ارزش­های تاریخی، دارای مزیت است. با این وجود، به­ دلیل وجود وقفه­های معاملاتی طولانی مدت یا اندک بودن حجم مبادلات انجام شده بر روی سهام بسیاری از شرکت­های مورد بررسی، کاربرد معیار مذکور از قابلیت اتکای کافی برخوردار نمی ­باشد و در صورت انتخاب این معیار به عنوان شاخص اندازه شرکت، لازم است محدودیت دیگری برای انتخاب نمونه اضافه شود که این موضوع کاهش تعداد اعضای نمونه و در نتیجه کاهش تعمیم‌پذیری تحقیق را در پی خواهد داشت. استفاده از معیار فروش نیز نسبت به معیار مجموع دارایی­ ها مزیت دارد. زیرا رقم فروش نسبت به مجموع دارایی­ ها مربوط­تر است و معمولا با افزایش تورم، فروش نیز افزایش می­یابد ولی مبلغ دارایی‌های قبلا تحصیل شده، تغییر نمی­ کند. بنابراین، در تحقیق حاضر، از لگاریتم طبیعی فروش شرکت i در دوره t برای سنجش اندازه شرکت استفاده می‌شود (ستایش و کاظم‌نژاد، ۱۳۸۸).
عکس مرتبط با اقتصاد
۳-۸- روش تجزیه و تحلیل داده ­ها و آزمون فرضیه ­ها
برای تحلیل­های تجربی عموماً سه نوع داده قابل دسترس است:
۱٫ داده ­های سری زمانی: در داده ­های سری زمانی، مقدار یک یا چند متغیر در طول یک دوره زمانی مشاهده می‌شود.
۲٫ داد­ه­های مقطعی[۶۹]: در داده ­های مقطعی، مقادیر یک یا چند متغیر برای چندین واحد اقتصادی (مشاهدات نمونه ­ای) برای یک زمان مشخص جمع­آوری می‌شود.
۳٫ داده ­های ترکیبی[۷۰]: در داده ­های ترکیبی، عناصر هر دو دسته از داده ­های سری زمانی و مقطعی وجود دارد. یعنی اطلاعات مربوط به داده ­های مقطعی در طول زمان مشاهده می‌شود. به بیان دیگر، چنین داده ­هایی دارای دو بعد می­باشند که یک بعد آن مربوط به واحدهای مختلف در هر مقطع زمانی خاص است و بعد دیگر آن مربوط به زمان می­باشد (گجراتی، ۲۰۰۴: ۲۶).
در این تحقیق با توجه به نوع داده ­ها و روش­های تجزیه و تحلیل موجود، برای بررسی رابطه بین هزینه‌های نمایندگی و کارایی سرمایه‌گذاری در شرکت‌های پذیرفته شده در بورس اوراق بهادار تهران از مدل ‌رگرسیون حداقل مربعات معمولی به روش داده ­های ترکیبی استفاده می‌شود.
۳-۸-۱- آزمون ریشه واحد در داده‌های ترکیبی
به علت غیرایستا[۷۱] بودن بیشتر متغیرهای اقتصادی، برآورد الگوهای اقتصادسنجی در سری‌های زمانی به کمک این متغیرها باعث بروز رگرسیون کاذب[۷۲] می‌شود. بنابراین، به کارگیری متغیرهای اقتصادی در الگوهای اقتصادسنجی به انجام آزمون‌های پایایی منوط شد. اما بحث پایایی و هم‌جمعی متغیرها و آزمون‌های مربوط، در حالتی که از داده‌های ترکیبی مقطعی- سری زمانی استفاده می‌شود، با حالتی که داده‌ها به صورت سری‌های زمانی است، تفاوت عمده‌ای دارد. پارامترهای (گشتاورهای) مربوط به متغیرهای هر مدل اعم از مستقل و وابسته باید در طول زمان در یک مدل رگرسیونی از نوع سری زمانی ثابت باشد، که برای تعیین ایستایی (پایایی) متغیرهای مدل از آزمون ریشه واحد[۷۳] استفاده می­ شود. ایستایی به دو صورت ضعیف و قوی وجود دارد که در ادبیات اقتصادسنجی بیشتر مفهوم ایستایی ضعیف مد نظر است. یک متغیر زمانی دارای ایستایی ضعیف می‌باشد که میانگین متغیر در طول زمان ثابت باشد و با تغییر زمان آغاز و پایان سری تغییر نکند، واریانس متغیر در طول زمان ثابت باشد و با تغییر زمان آغاز و پایان سری تغییر نکند و کوواریانس میان مقادیر متغیر در زمان‌های مختلف تنها تابعی از میزان فاصله زمانی بین مقادیر آن باشد و به زمان بستگی نداشته باشد (عباسی‌نژاد، ۱۳۸۰: ۱۸۹-۱۸۵).
آزمون‌های ریشه واحد داده‌های ترکیبی که عموماً مورد استفاده قرار می‌گیرد عبارتند از آزمون­های لوین[۷۴]، لین[۷۵] و چو[۷۶] (۲۰۰۲)، ایم[۷۷]، پسران[۷۸] و شین[۷۹] (۱۹۹۷)، دیکی فولر تعمیم یافته[۸۰] (۱۹۸۱)؛ فلیپس- پرون[۸۱] (۱۹۹۸) و هاردی[۸۲] (۲۰۰۳). چنانچه آزمون‌های ریشه واحد، ناایستا بودن متغیرها را نشان دهد، باید از آزمون‌های هم‌جمعی داده‌های ترکیبی پدرونی[۸۳] و کائو[۸۴] استفاده کرد (بالتاجی، ۲۰۰۵: ۲۵۳).
۳-۸-۲- چارچوب کلی مدل رگرسیون به روش داده ­های ترکیبی
داده ­های ترکیبی، شامل عناصر هر دو دسته از داده ­های سری زمانی و مقطعی است. نحوه چیدمان این نوع داده ­ها، به دو صورت انجام می‌شود:
در نوع اول، داده ­های یک واحد مقطعی برای T سال در کنار هم قرار می­گیرد و سپس این عمل برای واحد مقطعی دوم و واحدهای بعدی تکرار می‌شود. این نحوه چیدمان داده ­ها را اصطلاحاً «داده ­های تلفیقی» می­گویند.
نوع دوم چیدمان داده ­های ترکیبی نیز، قرار دادن داده ­های واحدهای مقطعی در هر سال در کنار هم است. به گونه­ ای که این روند برای سال­های بعد تکرار می‌شود. نحوه چیدمان داده ­ها به این صورت را اصطلاحاً «داده ­های تابلویی» می­گویند.
چارچوب کلی آماری داده‌های ترکیبی به صورت زیر می‌باشد:

به طوری که در این رابطه، متغیر وابسته و در برگیرنده متغیرهای توضیحی می‌باشد. تعداد شرکت‌ها (مشاهدات نمونه‌ای) و بیانگر زمان است. اسکالر و دارای بعد که در آن تعداد متغیرهای توضیحی می‌باشد. جزء خاص مقطع‌های زمانی[۸۵] و اثرات باقی مانده[۸۶] است (بالتاجی[۸۷]، ۲۰۰۵: ۱۱).
مدل‌های رگرسیون داده ­های ترکیبی، با بهره گرفتن از روش اثرات تلفیقی[۸۸] و داده‌های تابلوئی به روش اثرات ثابت[۸۹] یا اثرات تصادفی[۹۰] برآورد می‌شود. در روش اثرات اثرات تلفیقی فرض بر این است که ها برای برش‌های مقطعی ثابت است ( ). مدل اثرات ثابت مدلی است که در آن عرض از مبدأ بین واحدها تغییر می­ کند، به طوری که در این مدل عرض از مبدأ هر واحد از واحد دیگر متفاوت است، اما عرض از مبدأ هر واحد طی زمان ثابت است. در روش اثرات تصادفی نیز، فرض می‌شود تفاوت بین شرکت‌ها تصادفی بوده که در این صورت یک جزء تصادفی مانندU1 به معادله اضافه می‌گردد (همان، ۲۰۰۵: ۱۱). برای تشخیص روش تخمین مناسب باید آزمون‌های مختلفی انجام داد.
۳-۸-۳- آزمون قابلیت ادغام (F لیمر)
به منظور گزینش یکی از روش‌های داده‌های تابلوئی یا داده‌های تلفیقی، از آزمون F لیمر استفاده شده است. آماره آزمون F لیمر تعیین می‌کند که آیا عرض از مبدأ جداگانه برای هر یک از مقاطع یا دوره‌ها وجود دارد یا خیر؟ در صورتی که بین مشاهدات، ناهمگنی یا تفاوت‌های فردی وجود داشته باشد، از روش داده‌های تابلوئی و در غیر این‌صورت، از روش داده‌های تلفیقی استفاده می‌شود. زیرا داده‌ها فقط روی هم انباشت شده‌اند و تفاوت بین آن‌ ها لحاظ نشده است. در آزمون F لیمر، فرضیه صفر بیانگر یکسان بودن عرض از مبدأها (داده‌های تلفیقی) و فرضیه مقابل، نشان‌دهنده ناهمسانی عرض از مبدأها (داده‌های تابلوئی) است.
بالتاجی (۲۰۰۵) با فرض نرمال بودن توزیع جملات اختلال آماره مورد نیاز برای انجام این آزمون را این‌گونه بیان می کند (همان، ۲۰۰۵: ۵۹):

مجموع مربعات پسماندهای مقید حاصل از روش حداقل مربعات معمولی

برای