(۳-۱۳)
با توجه به اینکه:

پس:
(۳-۱۴)
که به این ترتیب معادله لیوویل در سیستم های همدوس بدست میآید.
در صورت حضور اثرات ناهمدوسی جملاتی به سمت راست معادله فوق و به صورت پدیده شناختی^[۴۸] اضافه می‌شود، یعنی این جملات طوری باید اضافه شوند که معادله لیوویل بتواند آن پدیده را در عمل و تجربه توصیف کند. مثلا درباره گسیل خودبه‌خودی اتم از تراز  به تراز  با گذشت زمان احتمال حضور سیستم در حالت  باید کاهش یابد یا به عبارتی  . پس معادله لیوویل برای یک سیستم اتم دوترازی که ضمن اندرکنش با یک میدان اتم های خارجی به تراز پایین نیز گسیل خودبه خودی میکند، به صورت پدیده شناختی اضافه می‌شود که معادله شرودینگر نمیتواند این پدیده را توصیف کند.

۳-۳ عملگر چگالی کاهش یافته^[۴۹]
کاربرد مهم عملگر چگالی توصیف زیر سیستم یک سیستم کوانتومی آمیخته است. این توصیف با عملگر چگالی کاهش یافته بوجود آمده است. برای دو سیستم فیزیکیA وB این عملگر به صورت زیر تعریف میشود:
(۳-۱۵)
(۳-۱۶)
که  یک نگاشت^[۵۰] از عملگرهای شناخته شده به صورت رد جزیی بر روی سیستم A(B) است. رد جزیی به صورت زیر تعریف میشود:
(۳-۱۷)
(۳-۱۸)
که  دو بردار دلخواه در فضای حالت A و  دو بردار دلخواه در فضای حالتB هستند.
مثال:
یکی از حالتهای بل]۲۶[، یعنی  را در نظر میگیریم. ماتریس چگالی این حالت عبارت است از:
(۳-۱۹)
حال ماتریس کاهش یافته کیوبیت اول را به دست می‌آوریم و کیوبیت دوم را بیرون می‌کشیم:

(۳-۲۰)
۳-۴ درهمتنیدگی و معیارهای آن
درهم‌تنیدگی کوانتومی نوعی تلاقی میان حالات کوانتومی است که یک جنبه غیر کلاسیک در سیستمهای کوانتومی را فراهم میکند و درهم‌تنیدگی این سیستمها در میزان ارسال اطلاعات نقش مهمی ایفا میکند. سادهترین تعریف درهم‌تنیدگی یک برهم نهی خاص از دو سیستم دو کیوبیتی است بطوریکه نتوان آن را به صورت ضرب تانسوری دوکیوبیت جدا کرد:
(۳-۲۱)
ضرایب  مختلط میباشند که در شرط بهنجارش صدق میکنند. مثلا حالت  ، یک حالت درهم‌تنیده است. نمایش ماتریسی پایه های در هم تنیده دو کیوبیت بصورت زیر تعریف میشود:
(۳-۲۲-۱)
(۳-۲۲-۲)
(۳-۲۲-۳)
(۳-۲۲-۴)
پایه‌های دو سیستم دو کیوبیتی به صورت  نوشته میشود و بنابراین برای سیستم  کیوبیتی  پایه وجود دارد  .
درهم‌تنیدگی میتواند با کاربرد فرمولبندی ماتریس چگالی توصیف شود. ماتریس چگالی  میتواند به صورت زیر تعریف شود:
(۳-۲۳)
برای مثال حالت کوانتومی:
(۳-۲۴)
که صورت برداری آن به شکل:

(۳-۲۵)
و ماتریس چگالی آن به شکل زیر است :
(۳-۲۶)
و برای حالت:
(۳-۲۷)
ماتریس چگالی به صورت زیر است:

(۳-۲۸)
و هنگامی که حالت به صورت :
(۳-۲۹)
است، ماتریس چگالی آن به صورت زیر است:
(۳۰-۳)
اکنون بیان میکنیم که  را میتوانیم به صورت زیر تفکیک کنیم: