(شعاع دبای) مرتب کنیم ما می توانیم جرم و بار ذرات غبار را به صورت زیر بیان کنیم:
(۲-۹۶)
(۲-۹۷)
که درآن (=۱gcm^-3)_d چگالی جرم ماده ی غبار است که ثابت فرض شده است و برای همه ی ذرات برابر است . اثرات اندازه ی توزیع غبار می تواند با مطالعه بر روی فرضیه ی مبتنی بر توزیع غبار که در سال ۱۹۹۷توسط براتلی^[۱۳]بیان شده در ارتباط باشد.

(۲-۹۸)
یا با یک توزیع نرمال که توسط مئوریس^[۱۴]درسال ۱۹۹۷ ارائه شد همراه باشد.برای وقتیکه r₁<< r_d << r₂.
(۲-۹۹)
در خارج از حد و اندازه ی غبار r₁ وr₂ما ازn_d=0استفاده می کنیم. در اینجا N₁ وN₂وs مقادیر ثابت هستندوr به عنوان عرض توزیع نرمال معرفی می کنیم وr در محدوده ی دامنه ی r_dr ,<r_d>rمی باشد که اندازه ی ذرات را می توان یافت. در صورتیکه r/r>2 ،تابع (r/r)را می توان مساوی ۱در نظر گرفت. مقدار متوسط و میانگین شعاع ذرات غبار به شرح زیر تعریف شده است.
(۲-۱۰۰)
که در آن مقدار  نشان دهنده ی چگالی نهائی دانه های غبار است.
فصل سوم
امواج صوتی یون غیر مسطح با الکترون­های توزیع کاپا
۳-۱مقدمه۲۵-۵
در این فصل ما با بهره گرفتن از روش استاندارد اختلال کاهشی، معادلات KP غیر خطی را در دستگاه­های کروی و استوانه­ای به دست می­آوریم. از این معادلات برای توصیف انتشار سالیتاری صوتی یون­ها، در پلاسمای غیر مغناطیسی و بدون برخوردی با توزیع الکترون­های کاپا و یون­های گرم استفاده می­ شود. در این جا تأثیر الکترون­های توزیع کاپا و اثرات ناشی از اختلال عرضی در امواج صوتی یون (استوانه­ای و کروی IAWs) بررسی شده ومشاهده می­ شود که افزایش در تابع توزیع کاپای الکترون، دامنه­ ساختار پتانسیل الکترواستاتیکی (سالیتاری) را کاهش می­دهد. نتایج عددی ارائه شده به درک بیشتر شکل گیری امواج سالیتاری صوتی- یون با الکترون­های توزیع کاپا، در شکل­های هندسی غیرمسطح می­انجامد.امروزه امواج غیر خطی درفیزیک پلاسما دارای اهمیتی ویژه می­باشند و این به دلیل اهمیت آن­ها در محیط فضا و آزمایشگاه می­باشد. در میان ساختارهای امواج غیرخطی، سالیتون­ها مورد توجه بسیاری از محققان بوده ­اند زیرا شناخت فیزیکی غنی از پدیده ­های غیر خطی را ارائه می­ دهند. در طول چندین دهه­ اخیر انتشار امواج منحصر به فرد صوتی یون در پلاسما با شکل مسطح نامحدود، به طور گسترده در محیط آزمایشگاهی و تئوری مورد مطالعه قرار گرفته است. انتشار موج سالیتاری در پلاسماهای غیر مغناطیسی بدون پراکندگی را می­توان توسط معادله­ KP یا معادله­ Kdv توصیف کرد. اگرچه بیشتر مطالعاتی که بر روی امواج صوتی یون تا کنون انجام شده ­اند تابع شکل مسطح نامحدود می­باشند. اخیراً مطالعاتی منتشر شده ­اند که در آن­ها امواج صوتی یون استوانه­ای و کروی و امواج صوتی یون- غبار مورد بحث قرار گرفته­اند. تیان و گائو ^[۱۵]معادله­ KP کروی را با محاسبه نمادین برای امواج صوتی یون- غبار به دست آورده­اند.
اخیراً وانگ و ژانگ^[۱۶]، امواج صوتی غبار را در سه مولفه فوق العاده سرد فرمی پلاسمای غبار، با در نظر گرفتن مدل کوانتوم هیدرودینامیکی دو بعدی در هندسه­ی غیرخطی مورد بررسی قرار داده­اند.اگرچه در این مطالعات الکترون­ها به شکل ماکسول بولتزمان در نظر گرفته شده ­اند.اما مشاهدات زیادی در فضا و محیط های پلاسمای اختر فیزیک، مناطق شفق قطبی اغلب توسط تابع توزیع ذره­ای با دنباله­ی انرژی بالاتر شناخته می­شوند بنابراین می­توانند از توزیع ماکسولی منحرف شوند. برای مدل دادن به چنین پلاسماهای فضائی، بسط توزیع K نسبت به توزیع ماکسولی مناسب­تر به نظر می­رسد. فیزیک توزیع لورنتزین به دلیل کاربرد در فضا و پلاسمای آزمایشگاهی که از توازن گرمایی به دور است توجه بیشتری را به خود جلب کرده است. توزیع کاپا(K) برای تحلیل و تفسیر داده فضایی پلاسمای مگنتو سفر زمین، مشتری و زحل مورد استفاده قرار گرفته است. مشاهده شده است که پلاسمای فضا می ­تواند به طور تأثیرگذاری توسط توزیع کاپا مدل داده شود تا موقعیت عالی توزیع ماکسولین. توزیع کاپا توسط چندین نویسنده برای مطالعه ی تاثیر میرائی لاندا بر روی حالت­های مختلف پلاسما مورد استفاده قرار گرفته است. اگرچه، برای بهبود دانش، مطالعه­ امواج صوتی یون استوانه­ای و کروی (IAWs) در یک پلاسما با الکترون­های توزیع کاپا هنوز به طور کامل انجام نشده است. بنابراین در این فصل، ما انتشار امواج صوتی یون استوانه­ای و کروی را در یک پلاسمای غیر مغناطیسی با الکترون­های توزیع کاپا در شکل غیرخطی محدود مورد مطالعه قرار دادیم.
۳-۲معادلات اصلی و استخراج شده از معادلات KP غیر خطی۲۴،۱۸،۱۷
پلاسمای غیرمغناطیسی، بدون برخورد و همگن که متشکل از یون­های گرم می­باشد و الکترون­های آن ازتوزیع سرعت کاپا پیروی می­ کنند را در نظر می­گیریم. سیستم اصلی معادلات شعاعی در شکل کروی و استوانه­ایدر چنین مدل پلاسمایی از طریق معادله­ زیر به دست می ­آید:
(۳-۱)  (۳-۲)  (۳-۳)  (۳-۴)
(۳-۵)
که در این معادلات، برای هندسه یک بعدی=۰ است و برای هندسه استوانه­ای وکروی، به ترتیب مساوی با یک و دو می­باشد.  .در معادلات بالا اندیس­های زیرنویس i و e به ترتیب به یون و الکترون اطلاق می­شوند. r و  به ترتیب مختصات شعاعی و زاویه­ای،  و  سرعت سیال یون در مسیرهای r و  می­باشند.  چگالی عددی یون است که نرمالیزه شده به چگالی عددی یون پلاسماوn_i0،  سرعت سیال یون که نرمالیزه شده به سرعت یون صوتی ،_s=(k_BT_e/m_i)^1/2، p_iو به ترتیب نرمالیزه شده به n_i0T_i وk_BT_e/e. متغیرهای زمان و مکان به ترتیب با پریود پلاسمای غبار=(m_i/4n_i0e²)_pi^-1 و طول دبای_Dm=(k_BT_e/4n_i0e²)می­باشند. معادله­ =T_i/T_e سرعت دمای یون به الکترون است. برای مدل توزیع الکترون، ما توزیع سه بعدی ایزوتروپیک (همسانگرد K) که از طریق معادله­ زیر به دست می ­آید را به کار می­گیریم:
(۳-۶)
که در این معادله(۲k_BT_e/m)²=-3/2/ سرعت حرارتی موثر است که تعریف شده با شاخص طیفی اصلاح شده ،که  دمای جنبشی و  تابع گاما می­باشد. در این معادله  نشان دهنده نرم مربع سرعت است. در این جا ما اشاره می­کنیم که سرعت حرارتی موثر  فقط برای >3/2 تعریف می­ شود. توزیع برای مقدار  به توزیع ماکسول کاهش پیدا می­ کند در حالیکه برای مقادیر پایین (کاپا)، آن­ها طیف سختی با دنباله­ی غیر ماکسول قوی را نشان می­ دهند که نظم کمتری در سرعت­های بالا دارد. با تلفیق توزیع کاپا در فضای سرعت، چگالی الکترون به شکل زیر به دست می ­آید:
(۳-۷)
بعد از نرمالیزه کردن چگالی برای الکترون­های گرم، این معادله به شکل بدون بعد زیر نوشته می­ شود:
(۳-۸)
برای به دست آوردن معادلات KP استوانه­ای و کروی بر اساس تئوری اختلال کاهشی لازم است که سه متغیر مستقل بصورت زیر تعریف شود:
(۳-۹)  و  و
بطوریکه پارامتر بدون بعد بسط،مشخص کننده ی شدت غیر خطی در سیستم است و _۰ سرعت فاز موج است. می توان پارامترهای مختلف ذرات غبار را برحسب پارامتر بسط داد.متغیرهای وابسته به شرح زیر است:
(۳-۱۰)
(۳-۱۱)  (۳-۱۲)
(۳-۱۳)
(۳-۱۴)
با جایگزینی معادلات (۳-۹) تا (۳-۱۲) در معادلات (۳-۱) تا (۳-۴) مقادیر زیر را برای پایین­ترین درجه­
خواهیم داشت:
(۳-۱۵)
(۳-۱۶ )
(۳-۱۷)
(۳-۱۸)
(۳-۱۹)
(۳ -۲۰)
(۳-۲۱)
به طور مشابه بر حسب مرتبه­ی بالاتری از  ، مجموعه ­ای از معادلات زیر به دست می ­آید:
(۳-۲۲)  (۳-۲۳)
(۳-۲۴)  (۳-۲۵)
با ترکیب معادلات (۳-۲۳)تا(۳-۲۵)،معادله ی kp کروی واستوانه ای را به دست می آوریم.
(۳-۲۶)
که در آن داریم:
و  (۳-۲۷ )
باید توجه داشته باشید که اگر  برود آنگاه  و  . بنابراین جمله­ای غیرخطی و پراکندگی زمانی برای وقتی که  برود از مستقل است. در نتیجه برای=۱)υ)CKPE
و=۲))SKPEامواج سالیتاری صوتی یون (IASWs) به ترتیب از طریق معادلات زیر به دست می­آیند:
(۳-۲۸)
(۳-۲۹)