نیروی تصویر شامل سه مؤلفه انرژی، انرژی خطوط، انرژی لبه­ها، انرژی ختم شدگی­ها می­باشد.
رابطه (۲- ۵) E _image = w _line E _line + w_edge E _edge + w _term E _term
که تنظیم وزن­ها، ویژگی‌های برجسته تصویر را که توسط مار فرض شده مشخص می‌کند.
رابطه (۲- ۶)E _line= I(x , y)
رابطه (۲- ۷)E _edge = - |I(x,y)|²
انرژی لبه را به صورت زیر می­توان نوشت که G_σ یک گوسی با انحراف استاندارد σ می­باشد.
رابطه (۲- ۸) G_σ *^۲I| ^۲ |ـE _edge =
انحناء سطح خطوط در یک تصویر کمی یکنواخت شده برای مشخص کردن گوشه­ها و ختم ­شدگی­ها در تصویر استفاده می­ شود. فرض کنید C(x,y) یک نسخه یکنواخت شده از تصویر باشد به طوری­که

رابطه (۲- ۹) C(x , y)= G_σ * I(x , y)
θ= arctan ()
رابطه (۲- ۱۰) E_term= C_yyC_x ^۲ – ۲C_xy C_xC_y +C_xxC_y ^۲ / (C_x ^۲ + C_y ^۲ )^۳/۲
انرژی ختم شدگی از رابطه (۲- ۱۰) به دست می ­آید.
۲-۲-۲ حداقل سازی انرژی
برای انطباق منحنی به کانتور باید انرژی حداقل (می­نیمم) شود به همین دلیل با بهره گرفتن از یکی از روش­های می­نیمم سازی این کار باید انجام پذیرد. در این­جا از روش شیب (گرادیان) نزولی^[۲۰] که از ساده­ترین بهینه­سازهاست استفاده شده که روابط آن در زیر بیان شده است.
رابطه (۲- ۱۱) x_t+1= x_t + γ df(x_t)/dx
رابطه (۲- ۱۲)y_t+1 = y_t + γ df(y_t)/dy
γ، مقدار گام را در هر تکرار کنترل می­ کند.
رابطه (۲- ۱۳) _t+1= _t + γ f( _t)
انرژی مار را به صورت مجموع انرژی نقاط گسسته روی مار می­توان تقریب زد.
رابطه (۲- ۱۴) E^* _snake (_i)
∇E^* _snake (_i)
_⇽ – ∇E_snake ( )
معادله­های نهایی در زیر آورده شده است.
رابطه (۲- ۱۵) = – γ{w_internal [α ^۲ / s² + β ^۴ /s⁴] +∇E_ext() }
= – γ{w_internal [α ^۲x / s² + β ^۴x /s⁴] +E_ext() / x}
= – γ{w_internal [α ^۲y / s² + β ^۴y /s⁴] +E_ext() / y}
که در نهایت مقادیر نقاط روی مرز به دست خواهد آمد.
در [۵] مدل کانتور فعال به کار گرفته شده که از مجموعه ­ای آموزشی شامل ۴۵۰۰ تصویر مربوط به حروف آلمانی که توسط ۶ شخص بیان شده استفاده شده است. ابتدا تصاویر با الگوریتم^[۲۱] متداول مار برچسب خورده­اند و مارهای هم­تراز نشده به صورت دستی از پایگاه داده خارج شده ­اند و هر کانتور لب به یک بردار ۸۰ بعدی که در واقع به صورت ۴۰ نقطه دو بعدی می‌باشد کد شده است. برای دنبال کردن^[۲۲] و یافتن لب در تصاویر جدید انرژی را که منفی مجموع تمام گرادیان­های سطح خاکستری تخمین زده شده در طول کانتور می­باشد محاسبه کرده ­اند. انرژی محلی می­نیمم، تطبیقی از مدل کانتور با مرز واقعی لب را نشان می­دهد. این عمل با بهره گرفتن از گرادیان نزولی صورت گرفته چون مرز خارجی لب­ها ویژگی خیلی قوی برای دنبال کردن می­باشد. بعد از یافتن کانتور لب Eigenlips” ‘’ محاسبه شده ­اند. n مولفه خاص اول کانتورها و یا n مولفه خاص اول از ماتریس تصویر سطح خاکستری پیرامون لب را انتخاب نموده که به آن­ها Eigenlips” ‘’ می­گویند. میانگین و بردارهای ویژه از لب­ها به دست آورده شده است. ده مؤلفه خاص اول برای جداسازی تمام شکل­های سطح خاکستری کافی است. ماتریس سطح خاکستری کدگذاری نسبت به جا به ­جایی، چرخش، مقیاس تغییر ناپذیر است اما نسبت به روشنایی تغییرپذیر است. با بهره گرفتن از طبقه­بند (کلاسه­بند) MLP ^[۲۳] این تغییر پذیری می ­تواند برطرف شود چون فقط یکی از ده ویژگی شدیداً به روشنایی وابسته است. از ویژگی­های صوتی و تصویری استفاده شده و به کلاسه­بند MLP اعمال و احتمال پسین^[۲۴] به دست آورده شده است. مطابق با قانون بیز^[۲۵] احتمال­ها به دست آمده و به عنوان احتمال گذر برای مدل­های مخفی مارکوف^[۲۶] استفاده شده است. در [۶] از مدل کانتور فعال نمونه گیری شده^[۲۷] برای آشکارسازی کانتور لب در دنباله­های تصویر ورودی استفاده شده است. این مدل برای تصاویر دودویی به کاربرده شده است. این مدل حلقه­ی بسته­ای از چند ضلعی به وجود آمده توسط نقاط کانتور که با چهار نیرو کار می­ کند است که در شکل زیر نشان داده شده است.

شکل ۲- ۱ مدل کانتور فعال نمونه گیری شده
F_p نیروی فشار^[۲۸] که در جهت نیم ساز دو نقطه کنترل مجاور عمل می­ کند و مقداری ثابت است_.
F_a نیروی کشش^[۲۹] که نسبت به فاصله دو نقطه کنترل مجاور عمل می­ کند.
F_v نیروی لرزش^[۳۰] که مقداری ثابت است و در جهت عمود بر برآیند دو نیروی قبل عمل می­ کند و جهت آن در هر حلقه معکوس می­ شود.
F_r نیروی دفع^[۳۱] می­باشد که هنگامی­که نقطه کنترل به مرز شی می­رسد این نیرو در جهت خلاف نیروهای دیگر عمل می­ کند.
در [۷] یک مدل فرم پذیر بر اساس کانتور فعال با چهار نوع انرژی برای نقاط کنترل در نظر گرفته شده است. با ترکیب مناسب این انرژی­ها و کمینه کردن آن در دو مرحله برای استخراج لبه­های قوی و ضعیف، شکل بیرونی دهان و لب­ها و پارامترها استخراج می­گردند. در این مقاله بعد از تخمین اولیه­ محل دهان و اصلاح آن، در دو مرحله لبه بالا و پایین دهان استخراج می­ شود. به دلیل استخراج هر یک در مراحل جداگانه و نیز عدم نیاز به نزدیک بودن کانتور اولیه به لبه­های استخراج شده نسبت به تغییرات شدت لبه بالا و پایین مقاوم است.
۲- ۳ مدل‌های شکل فعال
مدل شکل فعال مبتنی بر یک الگوریتم تطبیقی تکراری است که تحت تاثیر محدودیت­های شکل قرار می­گیرد. این محدودیت­ها با توجه به مدل آماری شکل که به آن مدل توزیع نقطه­ای^[۳۲] می­گویند تعیین می­گردند. که از آمار به دست آمده از اطلاعات داده ­های آموزشی که به صورت دستی نشانه­گذاری شده ­اند به دست می ­آید. مدل توزیع نقطه­ای کاهش فضای شکل­های معتبر لب را در مفهوم داده آموزشی توصیف می­ کند و نقاط در این فضا نماینده­های فشرده­ای از شکل لب هستند که به صورت مستقیم می­توانند استفاده شوند.
هر مدل شکل توسط مختصات نقاط مشخص شده نمایش داده می­ شود. در شکل زیر یک مدل لب با ۴۴ نقطه نشان داده شده است. (۲۴ نقطه روی کانتور خارجی و ۲۰ نقطه روی کانتور داخلی).

شکل ۲- ۲ علامت­گذاری انجام شده بر روی لب
ابتدا گوشه_­ها به صورت دستی تعیین و سپس بقیه نقاط با فاصله­های یکسان بین آن­ها قرار می­گیرند. اگر i امین شکل مدل باxi = (x_i1 , y_i1 , x_i2 , y_i2 ,….., x_i44 , y_i44 ) بیان شود دو شکل مشابه x₁ و x₂ توسط می­نیمم سازی انرژی هم­تراز^[۳۳] می­شوند.
رابطه (۲- ۱۶) E = (x₁ – M(s,θ) [x₂] – t)^T w(x₁ – M(s,θ)[x₂] – t)
جایی که تبدیل مقیاس با s، چرخش با θ و جا به ­جایی در x , y با t_x , t_y نشان داده شده است.
رابطه (۲- ۱۷) M(s,θ)[ =
, t = (t_x1 , t_y1 , ……, t_xN ,t_yN )
w ماتریس وزن قطری در هر نقطه است که مقادیر وزن­های آن در هر نقطه با واریانس آن نقطه نسبت عکس دارد. برای هم­ترازی از الگوریتم تکراری بیان شده در [۸] استفاده شده است. بنابراین مجموعه ­ای از مدل­های شکل هم­تراز شده به دست می ­آید، متوسط شکل محاسبه شده و محورهایی که بیشترین واریانس را از شکل متوسط توصیف می­ کنند می­توانند توسط آنالیز مؤلفه­ های خاص مشخص شوند. هر شکل می ­تواند توسط رابطه زیر تقریب زده شود.