برای همه مواردی که کرنش های درسه جهت با بهره گرفتن ازحل کینماتیک قابلیت پیدا شدن دارند، استحکام ماده بوسیله معادله زیرکامل می شود:
(۳-۴۹)
واز آنجا که:
(۳-۵۰)
و:
(۳-۵۱)
خواهیم داشت:
(۳-۵۲)
تنش صفحه ای:
برای حالت تنش صفحه ای، ماتریس استحکام ماده با اعمال شرط زیربرروی حالت کلی ماتریس استحکام ماده پیدا خواهد شد:
(۳-۵۳)
تنش تک محوره:
برای حالت تنش تک محوره، ماتریس استحکام ماده به صورت مستقیم با بهره گرفتن ازتغییرات معادله (۳-۳۹) موجود خواهد بود:
(۳-۵۴)

برای دانلود متن کامل پایان نامه به سایت tinoz.ir مراجعه کنید.

۳-۲- مدل های سختی [۵]:

۳-۲-۱- مدل پلاستیک کامل:

مدل پلاستیک کامل به این معنی است که تنش تسلیم با تغییر کرنش پلاستیک تغییر نمی کند. این مقدارتنش تسلیم می تواند برای بازه ای ازدما یا متغیرهای وابسته دیگربه صورت جدول وارتعریف شوند.

۳-۲-۲- مدل سختی ایزوتروپیک:

مدل سختی ایزوتروپیک بدین معنی است که اندازه سطح تسلیم به صورت کاملا یکنواخت در همه جهات تغییر می کند واین مثل آن است که تنش تسلیم درهمه جهات تنش همزمان با وقوع کرنش پلاستیک به صورت کاملا یکنواخت افزایش(ویا کاهش) می یابد. اگرمدل سختی به صورت ایزوتروپیک فرض شود تنش تسلیم می تواند به صورت جدولی ازکرنش پلاستیک تعریف شود. تنش تسلیم دریک کرنش پلاستیک دلخواه داده شده می تواند ازبین داده های این جدول میان یابی شود ومقدارتنش تسلیم برای کرنش های پلاستیک بیشترازآخرین کرنش پلاستیک داده شده درجدول، به صورت ثابت درنظرگرفته می شود. اگر مدل سختی در ماده به صورت ایزوتروپیک فرض شود، رفتار ماده در سه بعد مشابه با رفتارماده دریک بعد همانند تست کشش تک محوره فرض می شود. بنابراین با پیدا کردن رفتارتنش- کرنش ماده در یک تست کشش ساده می توان رفتار ماده را درحالت کلی تنش طبق روابط زیر مدل سازی کرد. مدل های سخت شدن کرنشی مختلفی می توانند درمدل سازی المان محدود فرایندهای شکل دهی استفاده شوند.

۳-۲-۲-۱- قانون توانی هولومون[۸۴] :

این قانون ساده ترین وپراستفاده ترین مدل می باشد. این قانون به صورت زیر بیان می شود:
(۳-۵۵)
بنابراین نمودار تنش- کرنش درماده می تواند به صورت یک رابطه نمایی تقریب زده شود.

۳-۲-۲-۲- قانون لودویک:

قانون هولومون تقریب خوبی ازنمودارتنش- کرنش رامی دهد. ویرایش اصلاح شده ی آن تحت عنوان قانون لودویک[۸۵] است که به صورت زیر بیان می شود:
(۳-۵۶)
بنابراین قانون لودویک تنش تسلیم اولیه را نیز درنظرمی گیرد. هردو قانون به صورت وسیعی درمدل سازی های شکل دهی وهمچنین در TWBها استفاده شده اند. هردو فلزات پایه وفلزجوش می توانند با این قانون تقریب زده شوند.

۳-۲-۲-۳- قانون ووس :

قانون ووس قانونی نمایی است وبه صورت زیر بیان می شود:
(۳-۵۷)
دقت شود که اگررفتارماده درسه بعد مدنظر باشد، درتمامی روابط سختی گفته شده دربالا می بایست به جای تنش، تنش معادل وبه جای کرنش، کرنش معادل قرا گیرند. تنش معادل وکرنش معادل در ماده به صورت زیرتعریف می شوند:
(۳-۵۸)
(۳-۵۹)
که می بایست طبق رابطه تسلیم داده شده تعریف شود و درحقیقت مولفه های تانسورکرنش می باشند.
درتمامی روابط بالا، اثرنرخ کرنش ودما درنظرگرفته نمی شود. اگراین دوپارامتردرتغییرشکل موثر باشند می بایست ازمدل های دیگری نظیرمدل جانسون- کوک استفاده کرد.مدل سختی جانسون- کوک نوع خاصی ازسختی ایزوتروپیک است زمانی که تنش تسلیم به صورت تابعی تحلیلی از کرنش پلاستیک معادل، نرخ کرنش ودما داده شده باشد. این مدل سختی برای مدل سازی تغییرشکل های با سرعت بالا دربیشتر مواد(همچنین شامل فلزات) استفاده می شود.

۳-۲-۲-۴- قانون ترکیب:

درتمامی روابط سختی گفته شده در بالا، می بایست ابتدا با بهره گرفتن ازتست های آزمایشگاهی نمودار تنش- کرنش ماده مورد نظررابدست آورد وسپس با بهره گرفتن ازرابطه ای که بهترین تقریب ازنموداررا می دهد، آن نموداررا به شکل معادله ریاضی درآورد. اما دربعضی موارد وبرای بعضی مواد خاص انجام این تست ها میسرنمی باشد. برای مثال، برای مواد ترد مثل اغلب جوش ها که هم امکان تغییرشکل زیاد آن ماده خصوصا درمحل اتصال به ثابت کننده های دوطرف گیج وجود ندارد وهم عرض جوش آنقدرکم است که عملا نمی توان یک زیراندازه ازآن را برای تست کشش ساده جداکرد. لذا برای اینگونه موارد، یکی ازراه های آسان، استفاده ازروابط تحلیلی موجود است که می توانند خواص مکانیکی آن ناحیه را به طورتقریبی بیان کنند. یکی ازاین روابط ریاضی، استفاده ازقانون ترکیب است. در قانون ترکیب، نمودارتنش- کرنش ناحیه جوش بوسیله نمودارتنش- کرنش کلی نمونه جوش داده شده وبا درنظر گرفتن شرایط تعادل نیرویی وکرنش ایزوتروپیک بین فلز پایه وجوش، بدست آورده می شود. شرط کرنش ایزوتروپیک فرض می کند که فلز پایه وناحیه جوش مقدار یکسانی از افزایش طول دراثر کشش را تجربه می کنند. ساختار میکروسکوپیکی ناحیه جوش وبنابراین خواص مکانیکی آن غیرهمگن می باشد اما خواص متوسط آن می تواند از روش قانون ترکیب بدست آید. در قانون ترکیب، تنش درناحیه جوش این چنین فرض می شود:
(۳-۶۰)
که A نشان دهنده سطح است. دراینجا و به ترتیب ناحیه جوش وناحیه فلز پایه را نشان می دهند وشماره های ۱و۲ متعلق به فلزات پایه ۱و۲ می باشند

۳-۳- نسبت های تنش تسلیم[۸۶] وخزش[۸۷] [۱۰۸]:

رفتارغیرایزوتروپیک تسلیم یاخزش با بهره گرفتن ازنسبت های تنش تسلیم یا خزش، ، مدل می شود. درحالت تسلیم غیرایزوتروپیک، نسبت های تنش تسلیم طبق تنش تسلیم مرجع، ، تعریف می شوند به گونه ای که اگر به عنوان تنها تنش غیرصفر اعمال شود، تنش تسلیم متناظرآن خواهد بود. نسبت های تنش درخزش یا تسلیم می توانند هم به صورت ثابت وهم به صورت جدولی ازدما ودیگر پارامترهای وابسته از قبل تعریف شده، مشخص شوند. ازطرفی دیگرمی بایست یک جهت محلی[۸۸] برای تعیین جهت غیرایزوتروپی درماده تعریف شود.

۳-۴- سطح تسلیم [۱۰۸]:

سطح های تسلیم مایسزوهیل فرض می کنند که تسلیم درمواد، مستقل ازتنش فشاری معادل است. این فرض برای بیشترمواد( به جزمواد حفره دار) تحت تنش فشاری مثبت، درآزمایشات تایید شده است. اما ممکن است برای مواد تحت شرایط تنش سه محوری زیاد، که باعث ایجاد وپیشروی حفره ها درمواد می شود، دقیق نباشد. چنین شرایطی می تواند درمیدان تنش نوک ترک ها ودربعضی ازموارد بارگذاری حرارتی شدید(نظیرآنچه درحین فرایندجوشکاری رخ می دهد)، شدیدتر هم می شود. دراین گونه موارد می بایست ازمدل های پلاستیک مواد متخخل استفاده کرد.

۳-۴-۱- سطح تسلیم وان- مایسز[۱۰۸]:

سطح تسلیم وان- مایسز برای تسلیم درمواد ایزوتروپیک استفاده می شود. این معیار، مقدارتنش تسلیم تک محوره رابه عنوان تابعی ازکرنش پلاستیک معادل تک محوره ودما ودیگرپارامترهای ازپیش تعیین شده ارائه می دهد.

۳-۴-۲- سطح تسلیم هیل[۱۰۸]:

سطح تسلیم هیل جهت مدل سازی تسلیم درمواد غیرایزوتروپیک به کار برده می شود. دراین معیار می بایست یک تنش تسلیم مرجع، ، برای مدل پلاستیک مواد ویک سری ازمقادیرنسبت تسلیم، ، به طورجداگانه تعریف شوند. این داده ها تنش تسلیم متناظر باهرکدام ازمولفه های تنش را به صورت تعریف می کند. مقادیر نسبت تسلیم می توانند برای تعریف سه نوع رایج غیرایزوتروپی مرتبط با شکل دهی ورق ها نیز مورد استفاده قرارگیرند: غیرایزوتروپی عرضی[۸۹]، غیرایزوتروپی صفحه ای[۹۰]، غیرایزوتروپی کلی[۹۱].
حال متناسب با هرکدام ازاین سطوح تسلیم، توابع تسلیمی وجود دارد که درزیرتوضیح داده شده اند:

۳-۴-۳- تابع تسلیم ایزوتروپیک[۱۰۸]:

یکی ازتوابع تسلیم پرکاربرد، تابع تنش پتانسیل مایسز می باشد که به صورت زیر بیان می شود:
(۳-۶۱)
که :
(۳-۶۲)
که S ، تنش انحرافی می باشد:
(۳-۶۳)
این پتانسیل درحقیقت نشان دهنده یک دایره درصفحه عمود برمحورهیدروستاتیک درفضای تنش های اصلی است. برای این تابع خواهیم داشت:
(۳-۶۴)
و:
(۳-۶۵)
که تانسورواحد ازمرتبه چهار می باشد.

۳-۴-۴- تابع تسلیم غیرایزوتروپیک[۱۰۸]:

تابع پتانسیل هیل[۹۲] یک بسط ساده ای ازتابع مایسز است که می تواند برحسب مولفه های تنش درمختصات کارتزین این چنین بیان شود:
(۳-۶۶)
که F، G، H، L، Mو N، بوسیله تست ماده درجهات گوناگون بدست می آیند. این ثابت ها اینچنین تعریف می شوند:
(۳-۶۷)