Wi2^(jn_j⁾
W_{in i}^(jn_j⁾
هر ستون ij Wبر رای ویژه اصلی^[۴۸] اثر (اهمیت) عناصر i امین مؤلفه شبکه بر روی عنصری از j امین مؤلفه ست. داده‌های متناظر با عناصری که فاقد تاثیر هستند، دارای مقداری صفر خواهند بود. بنابراین لزومی ندارد در زمان انجام مقایسات زوجی به منظور استخراج ویژه از همه عناصر یک مؤلفه استفاده نماییم. بلکه تنها از آن هایی استفاده کنیم که تاثیر غیرصفر دارند. شکل‌های ۲-۲۲ و ۲-۲۳ و ابر ماتریس‌های همراهشان، یک سلسله مراتب و یک هولارچی^[۴۹] m سطحی را نشان می‌دهند.

شکل ۳ – ۵ : ساختار و ابر ماتریس یک سلسله مراتب

شکل ۳-۶: ساختار و ابرماتریس یک هولارچی
ورودی هریک از دو ابرماتریس فوق، یک بلوک Wij است که به i امین مؤلفه با سطح مرتبط است و فوراً بر j امین سطح اثر می‌گذارد. داده وروی سطر و ستون آخر ابرماتریس یک سلسله مراتب، ماتریس همانی I است این مربوط به حلقه‌ای در سطح پایین است که نشان می‌دهد هر عنصر تنها به خودش وابسته است. داده ورودی سطر اول و ستون آخر یک هولارچی مخالف صفر است چون سطح بالا به سطح پایین وابسته است.
یک شبکه ممکن است از افزایش تدریجی اتصالات سلسله مراتب به وجود آید به طوری که هر جفت مولفه به طور نسبی بهم متصل شده و برخی مؤلفه‌ها نیز حلقه وابستگی داخلی داشته باشند.
۳-۱۴-۲ سلسله مراتب کنترل^[۵۰] و طرح یک سؤال
به منظور شفافیت و دقت بیشتر، تاثیر نمایش داده شده در همه بردارهای ویژه برآمده از اولویت‌های وارد شده در ابرماتریس باید بر طبق تک‌معیارهایی مانند تاثیر اقتصادی سنجیده شود. ابر ماتریس دیگر ممکن است تاثیر اجتماعی و مانند آن را نمایش دهد. چنین معیارهایی که نسبت به هر تاثیر، در ابرماتریسهای تکی بیان می‌شود را معیارهای کنترل^[۵۱] می‌نامیم. چون باید تمام تاثیرات به دست آمده از حدهای چنین ابرماتریس را به منظور کسب اولویت تاثیر کلی، تلفیق نماییم، باید معیارهای کنترل را به شکلی گروه‌بندی کنیم که بتوانیم اولویت‌ها را از آنها استخراج نموده و این اولویت‌ها را متناظر با حدهای ماتریس تکی، وزن‌دهی نموده و آن‌ها را جمع نماییم. برای سادگی کار، ساختار معیارهای کنترل را سلسله مراتب کنترل می‌نامیم، تحلیل اولویت‌های یک سیستم، برحسب سلسله مراتب کنترل، همراه با وابستگی میان گزینه‌های سطح پایین موجود در یک شبکه (شکل ۲-۲۲) انجام می‌شد. وابستگی،‌درون مؤلفه‌ها و میان آن‌ها رخ می‌دهد. سلسله هدایت در سطح بالا ممکن است با شبکه کنترل، همراه با وابستگی میان مؤلفه‌هایش جایگزین شود. همچون سلسله مراتب کنترل می‌تواند دربردارنده شبکه‌هایی از معیارهایش به همراه بازخورد باشد.
یک مؤلفه در ANP، مجموعه‌ای از عناصر متعلق به کارکردی است که از هم‌افزایی و اثرات متقابلشان مشتق و از این رو کارکرد مرتبه بالاتری دارد که در هیچ عنصر تکی پیدا نمی‌شود. یک مؤلفه، مانند مؤلفه سمعی یا بصری یک مجموعه تلویزیونی یا مانند بازو یا ساق پا متشکل از عضله و استخوان در بدن انسان است. یک مؤلفه مکانیکی، هیچ ارزش هم‌افزایی ندارد بلکه مجموعه سازه‌ای از عناصر است و آن معنی را که ما در یک مؤلفه مدنظر داریم را نمی‌دهد. مؤلفه‌های یک شبکه معمولاً به طور هم‌افزاینده‌ای باید متفاوت از عناصر خودشان باشند. در غیر اینصورت آنها مجموعه‌ای مکانیکی بدون مفهوم ذاتی خواهند بود.
مشاهده می‌کنیم که معیارهای درون سلسله مراتب کنترل که برای مقایسه مؤلفه‌ها استفاده می‌شوند، معمولاً معیارهای اصلی متعلق به معیارهای مرغی هستند که برای مقایسه عناصر درون مؤلفه استفاده می‌شوند. بنابراین معیارهایی که برای مقایسه مؤلفه‌ها به کار می‌روند بایستی بخاطر پیچیدگی کارکردی بیشتر مؤلفه‌ها، کلی‌تر در آن عناصر باشند.
دو معیار کنترل (معیار فرعی) وجود دارد. ممکن است معیار کنترل درصورتیکه ساختار به مشکل سلسله مراتب باشد. مستقیماً به ساختار همانند آرمان یک سلسله مراتب متصل شود. در این حالت معیار کنتر، یک معیار مقایسه‌ای – اتصال‌دهنده^[۵۲] نامیده می‌شود. در غیر این صورت، معیار کنترلی که مستقیماً به ساختار متصل نباشد بلکه مهیاکننده مقایسات درون شبکه باشد، معیار مقایسه‌ای - مهیاکننده^[۵۳] نامیده می‌شود. در غیر اینصورت، معیار کنترلی که مستقیماً به ساختار متصل نباشد بلکه مهیاکننده مقایسات درون شبکه باشد، معیار مقایسه‌ای – مهیاکننده^[۵۴] نامیده می‌شود.
سوال کلی که در مقایسات زوجی پرسیده می‌شود، این است: تاثیر یکی از دو مؤلفه مفروض بر مؤلفه دیگر، نسبت به معیار کنترل چه مقدار بیشتر است؟
۳-۱۴-۳- منافع، هزینه، فرصت‌ها، تهدیدها و نرخ‌گذاری شاخصهای موثر
هر تصمیمی چندین پیامد مطلوب و نامطلوب برای بررسی دارد. برخی از این پیامدها حلقی هستند. بقیه احتمال وقوع دارند. پیامدهای مطلوب قطعی، منافع نامیده می‌شوند. درحالیکه پیامدهای نامطلوب قطعی، هزینه‌ها نامیده می‌شوند. پیامدهای غیرقطعی و نامعین یک تصمیم، فرصت‌های مثبت و تهدیدات (ریسک‌ها) منفی است که آن تصمیم ممکن است به وجود آورد. هریک از این چهار پیامد، از ساختاری مجزا برای تصمیم‌گیری استفاده می‌کنند، که با یک ساختار کنترل منافع و شبکه وابستگی‌های متقابل معیارهای کنترل سود شروع شده و با یک ساختار کنترل تهدیدات خاتمه می‌یابد. ما به چهار پیامد، مجموعاً شاخص‌های موثر BOCR می‌گوییم که هریک از اولین حروف لغات انگلیسی منافع، فرصت‌ها،‌ هزینه‌ها و تهدیدات می‌باشد. هریک از این پیامدها به عنوان شاخص‌های موثر، در تصمیم‌گیری شرکت می‌کنند و باید به طور جداگانه در مجموعه‌ای از معیارها (اولویت‌بندی شده) ارزیابی (نرخ‌گذاری) شوند. در مورد شاخص‌های هزینه‌ها و تهدیدات باید این سوال را بپرسیم که کدام گزینه مورد نظر، هزینه و ریسک بیشتری را دربر دارد نه اینکه بپرسیم کدام گزینه هزینه و ریسک کمتری دارد. چون در مقایسات زوجی تنها می‌توانیم برآورد کنیم که عنصر غالب یک زوج، چند برابر عنصر مغلوب دارای یک ویژگی است. سپس اولویت گزینه‌ها با بهره گرفتن از فرمول جدی BO/CR و نتیجه کلی Bb+oO-cC-rR تلقیق می‌شود. اولویت r, c, o, b توسط نرخ‌گذاری R, C, O, B در یک زمان نسبت به معیارهای استراتژیکی همچون رضایتمندی، راحتی یا کارایی بدست می‌آید. نرخ‌گذاری، با ترکیب اولویت گزینه‌ها نسبت به هر معیار کنترل برای شبکه‌ای که بر مبنای شاخص‌های موثر R, C, O, B سازماندهی شده، و نیز با استفاده در گزینه دارای نرخ بالا طی نرخ‌گذاری آن شاخص‌‌ مؤثر، انجام می‌گردد. فرمول نتیجه کلی با فرمول احتمالا پسماند که همیشه جواب‌های مثبتی می‌دهد، در ارتباط است:
Bb+oO+C(1-C)+r(1-R)=bB+oO+cC-rR+C+r
که در آن هزینه‌ها و تهدیدات کم می‌شود و در پایان، مقدار ثابت C+r با اولویت هر گزینه جمع می‌شود. فرمول اخیر در شرایطی که BOCR، رای‌گیری مناسب یا انواع دیگر خروجی ها بدست آمده از اعداد یا آمار مثبت را پیش‌بینی می‌کند، می‌تواند مفید باشد.
۳-۱۴-۴- اولویت‌ها در ابر ماتریس
ما علاقه‌مند به استخراج اولویتهای حدی تاثیر، از ابرماتریس هستیم. برای کسب چنین اولویت‌هایی ابتدا باید ابرماتریس به ماتریسی تبدیل شود که جمع هریک از ستون‌هایی آن یک گردد، چنین ماتریسی به ماتریس تصادفی^[۵۵] معروف است اگر ماتریس، تصادفی باشد، اولویت‌های جدی می‌توانند طوری در نظر گرفته شوند که بستگی به مفاهیم کاهش‌پذیری،^[۵۶] ساده‌سازی^[۵۷] و سیلکی^[۵۸] ماتریس داشته باشد. خواننده تنها کافی است مسئله تصمیم‌گیری را ساختار‌‌بندی نموده و قضاوت‌های لازم را مهیا سازد تا توسط نرم‌افزار قدرتمندSuper Decision سازماندهی شوند.
سوال مطرح این است که آیا روش طبیعی برای تبدیل ابرماتریسی مفروض که جمع ستون هایش بیشتر از یک است، به ماتریسی تصادفی وجود دارد؟ اولویت یک عنصر از یک مؤلفه یا شاخصی نامناسب برای اولویت آن مؤلفه در کل مجموعه مؤلفه‌هاست. اولویت‌مندترین عنصر یک مؤلفه، لزوماً اولویت‌مندترین عنصر در مجموعه‌ای از مؤلفه‌ها نیست. این امر واضح است چون هر مؤلفه، یک عنصر با بالاترین رتبه را دارد و همه آن‌ها نمی‌توانند در سیستم، رتبه اول باشند. بنابراین باید خود مؤلفه‌ها را بر اساس تاثیرشان روی هر مؤلفه در ابرماتریس نسبت به ترتیب بالاتر معیار کنترل، مقایسه نماییم. مقایسات بردار استخراج شده از اولویت‌های تاثیر تمام مؤلفه‌ها (در سمت چپ ابرماتریس) روی هر مؤلفه سطح بالا را حاصل می‌کند. این کار به تعداد مؤلفه‌‌ها تکرار می‌شود هریک از بردارها برای وزن‌دهی بکوک‌های ماتریسهایی استفاده می‌شود که درستون مربوط به مؤلفه مورد نظر قرار دارند. اولین داده ورودی بردار مادی تمام عناصر بلوک اول آن ستون ضرب می‌شود، دومین داده در تمام عناصر بلوک دوم آن ستون ضرب می‌شود، و الی آخر. بدین ترتیب، بلوک‌های هر ستون ابر ماتریس را وزن‌دهی نماییم. نتیجه آن، به ابرماتریس وزنی^[۵۹] معروف است که اکنون تصادفی می‌باشد. این ماتریس تصادفی است که می‌توانیم از آن برای استخراج اولویت‌های مطلوب با تبدیل آن به یک ماتریس حدی توصیف شده در ذیل، استفاده نماییم. این ماتریس، اولویت حدی یا بلندمدت تاثیر هر عنصر روی هر عنصر دیگر را بدست می‌آورد. در مورد تعبیر تصادفی بودن ابرماتریس باید گفت که احتمال دارد تنها برخی از عناصر یک مؤلفه روی برخی از عناصر مؤلفه‌‌‌ای دیگر تاثیر داشته باشند که در این حالت، مقادیر صفر آن جاپی قرار می‌‌گیرند که هیچ تأثیری وجود ندارد. یا حتی ممکن است هیچ عنصری از یک مؤلفه روی عنصری مورد نظر در مؤلفه‌ای دیگر تاثیر نداشته باشد (برای تمام اولویت‌های ارائه شده توسط بردار مربوطه، مقادیر صفر وجود داشته باشد) یا تنها برخی عناصر، تاثیرگذار باشند (برای اولویت عناصری که در بردار اولویت مربوطه، تاثیری ندارد. مقادیر صفر وجود داشته باشد). درحالتی که یکی از بردارهای مؤلفه و نه همه بردارها،‌ مقدار صفر دارنده ستون وزنی ابرماتریس باید نرمال‌سازی مجدد گردد،‌ اگر همه عناصر یک مؤلفه، تاثیر صفر بر روی تمام عناصر مؤلفه دوم داشته باشند،‌ اولویت تاثیر مؤلفه اول بر روی مؤلفه دوم نیز باید برابر با صفر باشد. اما زمانی که برخی یا تمام عناصر مؤلفه اول، روی برخی یا تمام عناصر مؤلفه دوم تاثیر دارند،‌ این امر صادق نیست. به همین خاطر، برای تشکیل ابرماتریس وزنی تصادفی، نرمال‌سازی مجدد برخی ستون‌ها ضروری و طبیعی است.
اگر مؤلفه‌‌ای از گزینه‌های یک تصمیم، در انتهای شبکه واقع است و یا سایر مؤلفه‌ها به آن وابسته نیستند، لزومی ندارد وارد ابرماتریس شود و اولویتش بعد از آنکه اولویت‌های حدی مؤلفه‌های وابسته ابرماتریس بدست آمدند، در فرایند تلفیق استفاده می‌شود. اگر مؤلفه‌ای از گزینه‌ها در انتهای شبکه قرار ندارد پس باید در ابرماتریس اولویت‌هایی که شبیه به حالت توزیعی^[۶۰] هستند باقی بماند.
تا بدین‌جا شرح تفصیلی ANP بیان شد. حال جهت جمع‌بندی موضوع، آخرین نسخه از گام‌های دوازده‌گانه روش ANP با توجه به مرجع [۴۳]،‌ ارائه می‌گردد. البته باید توجه داشت به دلیل وجود محاسبات پیچیده، گام‌های ۸ تا ۱۲ که گام‌های محاسباتی هستند را می‌توان با کمک نرم‌افزار Super Decision انجام داد که بدین ترتیب عملاً سختی این روش تا حدود زیادی برطرف می‌شود.

1. 1. مطمئن شوید که تمام جزئیات مسئله را درک کرده‌اید (شامل اهداف، معیارها و زیرمعیارها، و خروجی فرایند تصمیم‌گیری).

1. 1. معیارها و زیرمعیارهای کنترلی را در چهار سلسله مراتب کنترلی به صورت منافع (B)، فرصت‌ها (O)، هزینه‌ها © و ریسک‌ها ® دسته‌بندی کرده و با بهره گرفتن از ماتریس مقایسات زوجی، اولویت‌بندی هریک از این موارد را بدست آورید. حال اگر یکی از معیارهای کنترلی و یا معیارهای فرعی. ترجیح کلی کمتر از ۳ درصد داشته باشد، می‌توان از آن چشم‌‌پوشی نمود. برای منافع و فرصت‌ها سوال کنید که کدام‌یک بیشترین مزایا (یا بالاترین فرصت‌ها) را در عمل ایجاد می‌کند. برای هزینه و ریسک بپرسید کدام‌یک زیان بیشتری یا بالاترین ریسک را دارد.

1. 1. ترکیب کاملی از اجزای شبکه (خوشه‌ها و عناصر آن‌ها) را که به هریک از معیارهای کنترلی وابسته هستند تعیین نمایید. برای سازمان‌دهی بهتر می‌توان هریک از این اجزا را کدگذاری نمود.

1. 1. برای هر معیار کنترلی (یا معیار فرعی) یک زیرمجموعه مناسب را از کل اجزاء تعیین کرده و تاثیرات داخلی و خارجی را برای انها ترسیم نماییم. اگر عناصر دو خوشه به یکدیگر تاثیر داشته باشند، آن‌گاه بین آن دو ارتباط برقرار می‌شود.

1. 1. روش کلی خود را برای تحلیل هریک از اجزا و محاسبه تاثیرات متقابل آن‌ها مشخص نمایید.

1. 1. برای هر معیار کنترلی بخشی از ابرماتریس را در نظر بگیرید. البته در این توزیع از که تخصیص یافته برای هر جزء استفاده نمایید.

1. 1. مقایسات زوجی را میان عناصر داخل هر خوشه و یا میان عناصری که در سایر خوشه‌ها بر هم اثر دارند انجام دهید. برای انجام این مقایسات می‌بایست معیارهای مقایسه در ذهن فرد باشد.

1. 1. بر اساس معیارهای کنترلی محاسبه شده با بهره‌گیری از مقایسات زوجی، میزان تاثیر هر خوشه را بر خوشه‌هایی که با آن مرتبط هستند تعیین نمایید. اگر هیچ ارتباطی بین آن‌ها وجود نداشت، مقدار صفر قرار می‌دهیم. در ادامه این مقادیر را در ابرماتریس وارد کرده و یک ابرماتریس احتمالی با ستون‌های وزن داده شده ایجاد کنید.

1. 1. اولویت‌های حدی ماتریس تشکیل شده را محاسبه نمایید. در انتها دو حالت ممکن است رخ دهد،‌حالت نخست آن است که همه ستون‌های ماتریس واحد بوده و اولویت‌های عناصر آن نرمال شده است. در حالت دوم می‌بایست حدهای مختلف با یکدیگر جمع شده، میانگین‌گیری شود و در نهایت نرمال گردد.

به هر حال بردار اولویت‌ها در ماتریس می‌بایست به صورت نرمال شده وارد شوند.

10. 10. با بهره گرفتن از وزن بردارهای حدی که از طریق معیارهای کنترلی محاسبه می‌شوند، اولویت‌های حدی آن‌ها با یکدیگر تلفیق می‌شود. برای گزینه‌ها مقدار شاخص  را محاسبه کرده و گزینه با بیشترین مقدار انتخاب می‌شود.

10. 10. در صورت نهان، معیارهای استراتژیک و اولویت‌های آن‌ها را جهت رتبه‌بندی دقیق گزینه‌ها، تعیین نمایید.

10. 10. در ادامه، برای هر گزینه، مجموع وزنی هزینه و ریسک را از مجموع وزنی فرصت و منافع، کسر می‌کنیم (bB+oO-cC-rR).

۳-۱۵- محاسبه نرخ سازگاری
پس از تبدیل ماتریس مقایسات زوجی فازی به ماتریس مقایسات زوجی قطعی‌ای، نوبت به بررسی سازگاری پاسخ‌های خبرگان می‌رسد.
فرض کنید که n عامل C₁ و C₂ و … و C_n باید با یکدیگر مقایسه شده تا پس از تشکیل ماتریس تصمیم‌گیری، وزن هر کدام محاسبه گردد. اگر هنگام مقایسه زوجی دو عامل C_i و C_j و تشکیل ماتریس تصمیم‌‌گیری محدودیت‌های زیر حاکم باشد:
(۳-۵)
(۳-۶)
آن‌گاه ماتریس تصمیم‌گیری حاصل را ماتریس تصمیم‌گیری دوسویه^[۶۱] (متقابل) می‌نامند، که موجب به دست آوردن اوزانی سازگار خواهد شد. در صورتی که رابطه زیر برقرار باشد، آنگاه اوزان کاملاً سازگار^[۶۲] خواهد بود. درواقع عناصر ماتریس تصمیم‌گیری باید گذرا^[۶۳] باشند.
(۳-۷)
در صورتی که ماتریس تصمیم‌گیری دوسویه (متقابل) باشد و عناصر آن کاملاً گذرا باشند، آن‌گاه اوزان کاملاً سازگار خواهند شد و می‌توان اوزان را از طریق رابطه زیر بدست آورد.
(۳۸-)