شکل ‏۴‑۷ مقایسه تابع اصلی خط و تابع بسط داده شده خط چین در مقادیر بالای x. مشاهده می‌شود هر چه مقدار زیادتر می‌شود تطابق بهتر می‌شود.
در شکل ‏۴‑۸ تابع اصلی و بسط را برای معادله ‏۴‑۳۰ مشاهده می‌کنید. این بار نیز به دلیل تطابق بالایی که در مقادیر x بالا داریم آن را در مقادیر کم x رسم کرده‌ایم.

تابع I و J

شکل ‏۴‑۸ مقایسه تابع اصلی خط و تابع بسط داده شده خط چین
تا اینجا توابع موجود در معادلات ‏۴‑۲۴ تا ‏۴‑۲۶ را برای رسیدن به یک رابطه ساده‌تر بسط دادیم. حال به معادله نهایی که باید حل کنیم می‌رسیم:
‏۴‑۳۱
همان‌طور که در سه معادله ‏۴‑۳۱ معلوم است جمله حذف شده است. علت آن این است که در اینجا برای آلاییدگی مثبت محاسبه را انجام می‌دهیم. علت این که در کارهای بالا اثبات کردیم که بسط با معادله اصلی تطابق بالایی دارد این است که در منابع بسط تابع پلی لگاریتم به‌صورت آمده است. همان‌طور که مشاهده می‌کنید بسط‌های ما کمی از بسط مشهور برای این تابع متفاوت است پس اینجا نیاز داشتیم توابع بسط پیشنهاد داده شده را راستی آزمایی کنیم. از حل دستگاه معادله‌ی ‏۴‑۳۱ سه کمیت و و را بدست می‌آوریم. حال نتیجه محاسبه معادله ‏۴‑۳۱ را برای دمای اولیه ۳۰۰ k و آلاییدگی و انرژی دمش ۱٫۵۵ ev انجام می‌دهیم و با مقادیر بدست آمده از آزمایش [۵۱] مقایسه می‌کنیم که در شکل ‏۴‑۹ و شکل ‏۴‑۱۰ رسم شده است. با مقایسه شکل ‏۴‑۹ و شکل ‏۴‑۱۰ متوجه تطابق خوب تئوری و نتیجه آزمایش می‌شویم. هر دو این شکل‌ها به‌صورت نرمال شده به رسانندگی در شرایط تعادل گرافن بدست آمده‌اند. در شکل ‏۴‑۹ منظور از این است که بعد از برخورد پالس لیزر به گرافن این پالس یک شکل موج دارد که مثلا گاوسی است. حال اگر حداکثر مقدار آن را در هر مرحله در نظر بگیریم و رسانندگی الکتریکی آن را محاسبه کنیم به آن می‌گوییم. در شکل ‏۴‑۹ و شکل ‏۴‑۱۰ قسمت رسانندگی مثبت مربوط است به فرایند افت و رسانندگی منفی مربوط به فرایند تقویت است. مشاهده می‌شود وقتی تعداد الکترون‌های برانگیخته به حدود می‌رسد سیستم دارای بهره می‌شود.
شکل ‏۴‑۹ تغییرات چگالی حامل‌ها بر واحد سطح بر حسب رسانندگی نرمال شده به رسانندگی شرایط تعادل در حداکثر شدت موج تابانده شده بر اساس نتایج آزمایشگاهی. قسمت خاکستری Gain را نشان می‌دهد.
شکل ‏۴‑۱۰ تغییرات چگالی حامل‌ها بر واحد سطح بر حسب رسانندگی نرمال شده بر اساس نتایج شبیه سازی. قسمت خاکستری Gain را نشان می‌دهد.
حال به بررسی دمای الکترون‌ها در این بازه می‌پردازیم. در همان شرایط آزمایشگاهی که نتایج شکل ‏۴‑۱۰ بدست آمد دمای الکترون‌ها به‌صورت شکل ‏۴‑۱۱ تغییر می‌کند:
شکل ‏۴‑۱۱ تغییرات چگالی حامل‌ها بر واحد سطح بر حسب دما. قسمت مشخص شده در شکل بازه اعتبار معادله برای این شرایط آزمایشگاهی خاص است.
در شکل ‏۴‑۱۱ تغییرات دما را مشاهده می‌کنیم و همان‌طور که معلوم است بلافاصله بعد از دمش گرافن، دمای الکترون‌های آن( از ۳۰۰ کلوین در برانگیختگی صفر) به حدود ۱۵۰۰ کلوین در برانگیختگیcm^-2 ۲٫۴×۱۰^۱۲ می‌رسد. دمای الکترون­ها حدودا تا حداکثر ۲۳۰۰ کلوین بالا می‌رود. دمایی که در آن به جمعیت معکوس می‌رسیم حدود ۲۰۰۰ کلوین است. علت افزایش و کاهش دما این است که بلافاصله بعد از برانگیختگی دمای الکترون‌ها بالا می‌رود اما بعد از زمان‌های ذکر شده در فصل سوم فرایند برخورد شروع می‌شود. در این شرایط الکترون‌ها شروع به سرد شدن می‌کنند و دمای آن‌ ها به دمای ۳۰۰ کلوین نزدیک می‌شود. البته همان‌طور که گفتیم اعتبار معادلات نوشته شده در حدودی است که انرژی از سیستم هدر نرود و در حقیقت به یک تعادل نسبی برسیم. در هر دمای اولیه بدون برانگیختگی، آلاییدگی و انرژی مورد استفاده دمای الکترون­های برانگیخته متفاوت است. این یعنی رفتار نمودار دما برای بررسی اعتبار معادلات ملاک مناسبی است. که در شکل ‏۴‑۱۱ بازه اعتبار حدودی برای شرایط آزمایشی ذکر شده مشخص شده است. در مکان‌هایی که خیلی دور از حداکثر برانگیختگی نیست معادلات قابل استفاده است. در ادامه به وضعیت پتانسیل شیمیایی در این بازه برانگیختگی برای شرایط آزمایش ذکر شده می‌پردازیم. همان‌طور که در شکل ‏۴‑۱۲ مشاهده می‌کنیم پتانسیل شیمیایی الکترون‌ها µ₊ در برانگیختگی نزدیک به صفر همان مقدار آلاییدگی اولیه گرافن یعنی ۰٫۴ ev را دارد. با افزایش برانگیختگی مقدار آن به علت افزایش الکترون‌ها در نوار رسانش افزایش می‌یابد. اما برای نوار ظرفیت در ابتدا چون تعداد حفره‌ها صفر است و سیستم با یک پتانسیل شیمیایی یکسان تعریف می‌شود مقدار µ_- صفر است(مقداری که با محور فاصله دارد در شکل ‏۴‑۱۲ خطای شبیه سازی است). همین طور که مقدار برانگیختگی زیاد می‌شود قدر مطلق پتانسیل شیمیایی حفره‌ها هم زیاد می‌شود. در شکل ‏۴‑۱۳ برای انرژی‌های ۱٫۳ ev و ۱٫۵۵ ev و ۱٫۷ ev رسانندگی را رسم کرده‌ایم. میزان برانگیختگی لازم برای رسیدن به حالت تقویت در هر انرژی مشخص است. پس به‌طور خلاصه در این بخش یک روش برای محاسبه مقدار رسانندگی تحت انرژی‌های مختلف ارائه کردیم که در مقایسه آن با تئوری فرض بر این بود که مقادیر مورد بحث در ماکزیمم هر پالس اندازه‌گیری شده است.
شکل ‏۴‑۱۲ تغییرات چگالی حامل بر واحد سطح برانگیخته شده بر حسب پتانسیل شیمیایی برای الکترون µ₊ و حفره µ_-
شکل ‏۴‑۱۳ رسانندگی بهنجار شده به رسانندگی حالت بدون میدان گرافن برای سه انرژی ۱٫۳ ev نقطه چین و ۱٫۵۵ ev خط چین ۱٫۷ ev خط حالت تقویت را در قسمت رسانندگی منفی مشاهده می‌کنیم.
بررسی جمعیت وارون در گرافن با روش تابع انتقال بولتزمن
در این بخش ابتدا هامیلتونی گرافن را بررسی می‌کنیم. سپس نرخ گذار را برای حالت فونون-حامل و فوتون-حامل می‌نویسیم. در نهایت با بهره گرفتن از معادلات تعادل^[۶۶] که بر پایه معادله انتقال بولتزمن نوشته شده است و رابطه مربوط به تعداد کل حامل‌ها، پتانسیل شیمیایی حفره‌ها و الکترون‌ها را بدست می‌آوریم. فرض برای این محاسبه آن است که گرافن روی زیر لایه SiC به صورت رشد هم بافته قرار گرفته است و پتانسیل شیمیایی اولیه آن غیر صفر است. قطبش نور فرودی به گرافن در جهت x می­باشد. حال اگر بر هم کنش پرتو نور و حامل ها در گرافن و بر هم کنش حامل-فونون را به صورت یک اختلال در نظر بگیریم هامیلتونی به شکل ‏۴‑۳۲ است:
‏۴‑۳۲
که هامیلتونی گرافن در حالت غیر اختلالی است که به‌صورت ‏۴‑۳۳ است:
‏۴‑۳۳
که ماتریس پاولی است و به‌صورت ‏۴‑۳۴ تعریف می‌شود:
‏۴‑۳۴
, ,
هامیلتونی گرافن به‌صورت ‏۴‑۳۵ است:
‏۴‑۳۵
هامیلتونی اختلالی را به‌صورت ‏۴‑۳۶ می‌نویسیم:
‏۴‑۳۶
که مربوط به بر هم کنش حامل و نور فرودی و مربوط به بر هم کنش فونون و حامل است. برای بدست آوردن بر هم کنش حامل و نور فرودی از پیمانه کلمب^[۶۷] استفاده می‌کنیم که به‌صورت که در آن به‌جای e قدر مطلق بار الکترون را قرار می‌دهیم. پس برای هامیلتونی بر هم کنش نور و گرافن رابطه ‏۴‑۳۷ را داریم:
‏۴‑۳۷
همان‌طور که گفته شد قطبش نور فرودی در جهت x است که در معادله ‏۴‑۳۷ اعمال شده است. در آن است که F₀ شدت میدان الکتریکی و فرکانس نور تابانده شده است. در ادامه به بررسی هامیلتونی حامل فونون می‌پردازیم. در اینجا فقط به بررسی فونون‌های اپتیکی می‌پردازیم چون در بازه زمانی که جمعیت معکوس را داریم، دما بسیار بالاست، که در این دمای بالا فونون‌های اپتیکی در سیستم وجود دارند[۵۲]. برای محاسبه هامیلتونی فونون اپتیکی ابتدا تابع زیر را معرفی می‌کنیم^[۶۸][۵۵]:
‏۴‑۳۸
که N تعداد سلول‌های واحد و M جرم هر اتم کربن و فرکانس فونون اپتیکی در نقطه به میزان ۰٫۱۹۶ ev است. بردار موج و ζ نشان دهنده نوع موج یعنی عرضی t یا طولی l و در نهایت و نشان دهنده عملگرهای خلق و فنا است. بردارهای موج را به‌صورت زیر تعریف می‌کنیم:
‏۴‑۳۹ ,
که در آن q=|q| است. برای مدهای طولی و عرضی به‌صورت روابط زیر است:
‏۴‑۴۰
,
بر هم کنش الکترون و فونون اپتیکی در نقطه K به‌صورت زیر است:
‏۴‑۴۱
,
که طول پیوند در شرایط تعادل است و و پارامتر به‌صورت زیر معرفی می‌شود:
‏۴‑۴۲
در نهایت هامیلتونی بر هم کنش الکترون-فونون به‌صورت زیر است:
‏۴‑۴۳
که برای موج طولی و عرضی به‌صورت زیر معرفی می‌شود:
‏۴‑۴۴
و برای نقطه K^‘ به‌صورت است که زاویه بین q و محور x است.
برای محاسبه احتمال گذار باید از قاعده طلایی فرمی استفاده کنیم که در ادامه ابتدا توضیحی در مورد آن می‌دهیم سپس نتایج احتمال گذار بر واحد زمان یا همان آهنگ گذار را برای هامیلتونی‌های اختلالی بدست می‌آوریم. قاعده طلایی فرمی رابطه‌ای است برای محاسبه آهنگ گذار که در آن از اختلال وابسته به زمان استفاده می‌کنیم. برای استفاده از این قاعده هامیلتونی سیستم را به‌صورت H=H₀+H_Perturbation در نظر می‌گیریم و ویژه حالت سیستم را بر اساس بسط ویژه حالت پایه سیستم که فاکتور زمانی دارد به‌صورت بسط می‌دهیم. حال برای محاسبه آهنگ گذار سه فرض داریم:
۱-سیستم در حالت اولیه در حالت |i> است و احتمال حضور آن در هر حالت دیگر صفر است.
۲-اختلال ضعیف است و برای مدت کوتاهی اعمال می‌شود به طوری که حالت‌های سیستم را عوض نمی‌کند و می‌توان از ویژه حالت‌های قبل از اختلال سیستم برای توصیف آن استفاده کرد.