کولاگ و نلدر (۱۹۸۹) ثابت کردند هنگامی که n بزرگ است، دارای توزیع نرمال p بعدی به صورت است.
(۲-۱۷)
۲-۴-۳ پروفایل لجستیک
مایرز و همکاران(۲۰۰۲) مدل رگرسیون لجستیک را به صورت زیر بیان کردند:
(۲-۱۸)
به طوریکه بردار ضرایب مدل را نشان می دهد. در رابطه بالا می باشد. یه و همکاران (۲۰۰۸) برای تخمین بردار پارامترهای مدل لجستیک فرض کردند که برای i مین وضعیت متغیر پیش بینی مشاهده وجود داشته باشد و راj مین مشاهده در i مین متغیر پیش بینی تعریف کردند پس است. آن ها تابع احتمال را به صورت زیر محاسبه می کنند:
(۲-۱۹)
(۲-۲۰)
با گرفتن لگاریتم از معادله بالا و استفاده از رابطه (۲-۱۸) به رابطه زیر می رسیم:
(۲-۲۱)
یه و همکاران (۲۰۰۸) بیان کردند که با مشتق گرفتن از رابطه بالا نسبت به و استفاده از روش حداقل مربعات وزنی تکرار شونده پارامترهای رگرسیون لجستیک به صورت زیر تخمین زده می شوند:
(۲-۲۲)
به طوریکه ماتریس و ماتریس قطری است و می باشد. کولاگ و نلدر (۱۹۸۹) ثابت کردند هنگامی که n بزرگ است، دارای توزیع نرمال p بعدی به صورت است.
(۲-۲۳)
۲-۵ نقطه تغییر
نمودارهای کنترل[۱۷] معمولا توانایی کشف حالت خارج از کنترل[۱۸]را در زمان واقعی خود ندارند و تغییرات مدتی پس از زمان واقعی کشف می شوند؛ در نتیجه زمانی که یک نمودار کنترل، شرایط خارج از کنترل را نشان می دهد، رویه هایی به منظور ریشه یابی و حذف انحرافات بادلیل[۱۹] فرایند شروع می شود. به زمان واقعی که این انحرافات بادلیل در فرایند اتفاق می افتد، نقطه تغییر[۲۰] می گویند که همان زمان واقعی تغییر فرایند تحت کنترل[۲۱]، به حالت خارج از کنترل است. تشخیص نقطه تغییر هر فرایند، مرحله ای مهم در ریشه یابی و حذف انحرافات بادلیل آن فرایند است؛ زیرا تشخیص نقطه تغییر کمک می کند که محدوده جستجو در خصوص علل بروز انحرافات محدودتر شود و تنها مجموعه عللی که به تغییرات اصلی در فرایند منجر شده اند، مورد بررسی قرار گیرند. لذا دانستن زمان واقعی وقوع اختلال در فرایند، صرفه جویی قابل توجهی از لحاظ زمان و هزینه در فرایند تولید به دنبال خواهد داشت .
۲-۵-۱ برآوردکننده اریب نقطه تغییر
زمانی که یک نمودار کنترل، هشدار خارج از کنترل می دهد، زمان واقعی که فرایند تحت تأثیر انحرافات بادلیل قرار گرفته است را نشان نمی دهد؛ بلکه این هشدار فقط بیانگر وجود انحرافات بادلیل در فرایند است. لذا هنگامی که یک نمودار کنترل، وجود انحراف بادلیل در فرایند را هشدار می دهد، مهندسی فرایند جستجو را برای شناسایی منبع انحراف آغاز می کند. امیری و الله یاری (۲۰۱۲) زمان واقعی که فرایند تحت تأثیر انحرافات بادلیل قرار می گیرد و به طبع آن، تحت شرایط خارج از کنترل واقعی در می آید را «نقطه تغییر» می نامند. در نمودارهای کنترلی که نسبت به تغییر حساستر هستند، زمان هشدار به نقطه تغییر نزدیکتر و در آنهایی که از حساسیت کمتری برخوردارند، فاصله زمان هشدار از نقطه تغییر بیشتر است. بنا بر گفته ساموئل و همکاران (a1998) از آنجا که زمان هشدار نمودارهای کنترل با نقطه تغییر واقعی فرایند فاصله زیادی دارد، می توان زمان هشدار نمودار کنترل را یک برآوردکننده اریب[۲۲] برای نقطه تغییر دانست.
۲-۵-۲ اهداف و فواید تجزیه و تحلیل نقطه تغییر
مهمترین هدف انجام تجزیه و تحلیل نقطه تغییر، تعیین نوع تغییر در فرایند ، تعداد تغییرات و همچنین تخمین زمان وقوع هر یک از آنهاست. از دیگر اهداف انجام این تحلیل محدود کردن فضای جستجو برای شناسایی زمان بروز انحرافات به وسیله تخمین فواصل اطمینان می باشد که برای مهندسان فرایند این امکان را فراهم می کند تا با صرف زمان و هزینه کمتر به جستجوی علل ایجاد انحراف بپردازند. همچنین ضرورت انجام تجزیه و تحلیل نقطه تغییر را می توان در لزوم ایجاد راهکاری برای تشخیص هر چه سریعتر عوامل انحراف در فرایند و برطرف نمودن آنها با هدف کاهش هزینه ها، افزایش کیفیت و بهبود بهره وری دانست.
۲-۵-۳ انواع داده ها[۲۳] در بررسی نقطه تغییر
هر محصول دارای مشخصه هایی می باشد که کیفیت محصول را رقم میزند. به این مشخصه ها مشخصه های کیفی[۲۴] گویند. بسیاری از مشخصه های کیفی را می توان به صورت عددی بیان کرد؛ یعنی مقادیر پیوسته می گیرند؛ یا به عبارت دیگر مقادیری که آنها می پذیرند، شمارش پذیر نیستند. این مشخصه های کیفی را مشخصه های کیفی متغیر[۲۵] گویند.
از سوی دیگر بسیاری از مشخصه های کیفی را نمی توان به صورت عددی بیان کرد. یا به عبارت دیگر این مقادیر گسسته و شمارش پذیرند؛ یعنی بین آنها و مجموعه ای از اعداد طبیعی میتوان تناظر یک به یک برقرار کرد. مشخصه های کیفی که با چنین روشی تقسیم بندی می شوند را مشخصه های کیفی وصفی[۲۶] می نامند.
همچنین بسیاری از مسائل واقعی وجود دارند که در آنها کنترل چند مشخصه کیفی به طور همزمان مد نظر است. مونتگومری(۲۰۰۹) اینگونه فرایندها را مسائل چندمتغیره[۲۷]یا چندوصفی[۲۸]می نامد و کنترل اینگونه مسائل را به مراتب دشوارتر از مسائل تک متغیره( تک وصفی) می داند. در نهایت چهارنوع مشخصه کیفی به منظور تفکیک بندی مسائل نقطه تغییر در نظر گرفته می شود که عبارتند از: مشخصه های کیفی وصفی، متغیر، چندوصفی و چندمتغیر. در این تحقیق، تمرکزمان بر روی مسائل تک متغیره (تک وصفی) خواهد بود.
۲-۵-۴ انواع تغییرات[۲۹] در بررسی نقطه تغییر
۲-۵-۴-۱ تغییر پله ای[۳۰]
تغییر پله ای به نوعی از تغییر گویند که پارامتر فرایند تحت کنترل، در نقطه نامعلومی از زمان، به میزان نامشخصی تغییر کرده و به حالت خارج از کنترل تغییر یابد. پارامتر در همین سطح جدید باقی می ماند تا زمانی که علل ایجاد انحراف شناسایی و حذف گردد. شکل تفهیمی این تغییر در شکل ۲-۴ و نمونه ای از این تغییر در نمودار کنترل شوهارت در شکل ۲-۵ نشان داده شده است.

شکل ۲-۴: تغییر پله ای (آتشگر،۲۰۱۳)

شکل ۲-۵: تغییر پله ای در نمودار کنترل شوهارت (امیری و الله یاری، ۲۰۱۲)
تغییر پله ای می تواند به طور مثال در زمان شکستن ناگهانی ابزار کار، تغییر در مواد اولیه و …اتفاق بیفتد.
۲-۵-۴-۲ تغییر پله ای چندگانه[۳۱]
در این نوع تغییر قبل از ارسال سیگنال توسط نمودار کنترل مبنی بر خارج از کنترل بودن فرایند، سطح پارامتر در چند نقطه زمانی و در هر بار به میزان نامعلومی تغییر می کند. در اینجا لازم است که تعداد تغییرات رخ داده و نیز زمان هریک از آنها تخمین زده شود. شکل تفهیمی این تغییر در شکل ۲-۶ نشان داده شده است. همچنین نمونه ای از این نوع تغییر در نمودار کنترل شوهارت در شکل ۲-۷ آمده است.

شکل ۲-۶: تغییر پله ای چندگانه (آتشگر،۲۰۱۳)

شکل ۲-۷: تغییر پله ای چندگانه در نمودار کنترل شوهارت (امیری و الله یاری ،۲۰۱۲)
تغییر پله ای چندگانه می تواند به دلیل تغییر یک یا چند متغیر مؤثر فرایند در زمان های مختلف اتفاق بیفتد.
۲-۵-۴-۳ تغییر با روند خطی[۳۲]
در واقعیت، پارامترهای یک فرایند ممکن است به تدریج و تحت تأثیر شیبی نامشخص تغییر کنند. در اکثر مقالات این شیب را به صورت خطی در نظر گرفته اند و تغییرات پارامتر را همانند مدل نشان داده شده در شکل ۱-۶ فرض نموده اند. در تغییر پارامتر با روند خطی، پارامتر فرایند در لحظه ای نامعین از زمان شروع به تغییر کرده و این تغییر مطابق با یک معادله خطی وابسته به زمان، تا اعلام هشدار توسط نمودار کنترل ادامه می یابد. در این حالت زمان و شیب خط تغییر نامعلوم بوده و باید با روش مناسبی تخمین زده شود. نمونه ای از این نوع تغییر در نمودار کنترل شوهارت در شکل ۲-۸ آمده است.

شکل۲-۸: تغییر با روند خطی (آتشگر،۲۰۱۳)

شکل ۲-۹: تغییر با روند خطی در نمودار کنترل شوهارت (امیری و الله یاری ،۲۰۱۲)
تغییر با روند می تواند به طور مثال در اثر فرسودگی تدریجی ابزار، خستگی اپراتور و … اتفاق بیفتد.
۲-۵-۴-۴ تغییر مونوتونیک[۳۳]
هر سه نوع تغییر بررسی شده در بخش های گذشته به گونه ای بودند که نوع آنها معین در نظر گرفته شده بود. یعنی از قبل می دانستیم که قرار است کدام نوع تغییر در فرایند رخ دهد. در حالی که در واقعیت معمولا حتی نوع تغییر نیز برای ما شناخته شده نیست و باید بدون دانستن مدل تغییر، به برآورد نقطه تغییر بپردازیم. تغییرات مونوتونیک آن دسته از تغییرات هستند که نحوه تأثیر آنها بر پارامتر فرایند از قبل برای ما معلوم نیست ولی راستای تأثیر آنها مشخص است. یعنی می دانیم که پارامتر فرایند قرار است افزایش بیابد یا کاهش. در حقیقت یک تغییر مونوتونیک می تواند به صورت تغییر پله ای غیرنزولی (غیرصعودی)، تغییر پله ای چندگانه غیرنزولی(غیرصعودی)، تغییر با روند خطی یا غیرخطی غیرنزولی (غیرصعودی) و یا ترکیبی از این ها باشد. زمانی که پارامتر فرایند به صورت غیرنزولی تغییر کند، به این نوع تغییر، تغییر ایزوتونیک[۳۴] گوییم. تغییرات ایزوتونیک می توانند بر اثر تغییرات چند متغیر مؤثر فرایند، هر یک به اشکال مختلف و به شکل افزایشی ایجاد شوند. شکل تفهیمی این تغییر در شکل ۲-۱۰ نشان داده شده است. همچنین نمونه ای از این نوع تغییر در نمودار کنترل شوهارت در شکل ۲-۱۱ آمده است.
نوع دیگری از تغییرات مونوتونیک حالتی است که پارامترهای فرایند به صورت غیرصعودی تغییر کنند که به این نوع تغییر، تغییر آنتی تونیک[۳۵] گویند. تغییرات آنتی تونیک حالت متقابل تغییرات ایزوتونیک می باشند و می توانند بر اثر تغییرات چند متغیر مؤثر فرایند، هر یک به اشکال مختلف و به شکل کاهشی ایجاد شوند.

شکل ۲-۱۰: تغییر ایزوتونیک(آتشگر،۲۰۱۳)

شکل ۲-۱۱: تغییر ایزوتونیک در نمودار کنترل شوهارت (امیری و الله یاری ،۲۰۱۲)
بسیاری از مقالات معرفی شده در بخش های قبلی فرض را بر این قرار داده اند که نوع تغییرات از قبل شناخته شده است؛ در حالی که در واقعیت بسیار کم اتفاق می افتد که بتوان نوع تغییر را پیش از کشف، حدس زد. به همین دلیل به نظر می رسد که استفاده از نوع تغییرات مونوتونیک به واقعیت نزدیکتر باشد؛ هرچند که باز هم به دلیل تعیین راستای تعیین به صورت پیش فرض مقداری از واقعیت فاصله دارد.
۲-۵-۵ شناسایی نقطه تغییر در پایش پروفایل
۲-۵-۵-۱ رویکرد برآورد MLE
در رویکرد MLE نقطه تغییر برابر با زمانی در نظر گرفته میشود که در آن زمان تابع درستنمایی حداکثر گردد. به عبارت دیگر
(۲-۲۴)
در رابطه بالا تابع درست نمایی شامل هر دو حالت تحت کنترل و خارج از کنترل مشاهدات است . همچنین t نمایانگر زمان های ممکن برای وجود نقطه تغییر،T زمان هشدار نمودار کنترل و برآورد نقطه تغییر است.
با توجه به نتایج حاصل از مقالات ارائه شده در حوزه نقطه تغییر، می توان این نتیجه را برداشت کرد که کاربرد روش MLE نسبت به سایر روش های برآورد رایج تر است زیرا اولا با بهره گرفتن از روش حداکثر درستنمایی می توان بازه اطمینانی را برای نقطه تغییر تخمین زد؛ ثانیا این روش نسبت به میزان تغییر و مقدار هدف پارامتر مورد بررسی کاملا غیرحساس است؛ در حالی که برآوردهای حاصل از نمودارهای جمع تجمعی و میانگین متحرک موزون نمایی نسبت به میزان تغییر حساس می باشند. به طور مثال برآوردکننده های ذاتی نمودار CUSUM برای تخمین نقطه تغییر وقتی میزان تغییر به اندازه ۲k باشد، برآوردهای خوبی ارائه می کنند ولی هر چه میزان تغییر از مقدار مذکور فاصله می گیرد دقت برآوردکننده های CUSUM نیز کاهش می یابد. همچنین معمولا برآوردکننده های EWMA در تغییرات کوچک عملکرد بهتری را از خود نشان می دهند و هر چه میزان تغییرات افزایش می یابد، این برآوردکننده ها صحت و دقت کمتری پیدا می کنند. (پیگناتیلو و ساموئل ،۲۰۰۱)
در اکثر مقالاتی که به موضوع نقطه تغییر پرداخته اند از روش MLE برای برآورد نقطه تغییر استفاده شده است و بیشتر مقالات برآوردکننده حاصل از این روش را در شرایط تغییرات پله ای، روندی یا مونوتونیک با برآوردکننده های CUSUM و EWMA مقایسه کرده اند.
۲-۵-۵-۲ رویکرد برآورد CUSUM[36]
یکی دیگر از رویکردهای برآورد نقطه تغییر برآوردکننده های نمودارهای CUSUM و EWMA هستند. هرچند این نمودارها معمولا به منظور کشف تغییرات به کار می روند ولی نوعی برآورد کننده درونی[۳۷] نیز دارند که در برآورد نقاط تغییر بر اساس هشدارهای نمودار بسیار موثر است.
پیج (۱۹۵۴) برآوردکننده ذاتی نقطه تغییر را برای نمودار CUSUM معرفی کرد. وی آخرین مشاهده ای که قبل از اعلام هشدار توسط نمودار، مقدار صفر گرفته است را به عنوان برآوردکننده نقطه تغییر پیشنهاد نمود. بر این اساس اگر نمودار CUSUM هشدار افزایش در آماره را بدهد، به عنوان برآوردکننده ذاتی نمودار و اگر نمودار CUSUM هشدار کاهش در آماره را بدهد،به عنوان برآوردکننده ذاتی نمودار خواهد بود. شکل ۲-۱۲ بیانگر نحوه عملکرد این برآوردکننده است.

شکل ۲-۱۲: برآوردکننده ذاتی نمودار CUSUM (امیری و الله یاری ،۲۰۱۲)
۲-۵-۵-۳ رویکرد برآورد EWMA[38]
نیشینا (۱۹۹۲) برآوردکننده ذاتی نقطه تغییر را برای نمودار EWMA معرفی کرد. وی آخرین مشاهده ای که قبل از اعلام هشدار توسط نمودار، مقداری در خلاف جهت تغییر و در سمت دیگر مقدار هدف گرفته است را به عنوان برآوردکننده نقطه تغییر پیشنهاد نمود. بر این اساس اگر نمودار EWMA هشدار افزایش در آماره را بدهد، به عنوان برآوردکننده ذاتی نمودار و اگر نمودار EWMA هشدار کاهش در آماره را بدهد، به عنوان برآوردکننده ذاتی نمودار خواهد بود که در این روابط مقدار هدف آماره مورد نظر خواهد بود. نحوه عملکرد برآوردکننده ذاتی EWMA در شکل ۲-۱۳ مشخص است.

شکل ۲-۱۳: برآوردکننده ذاتی نمودار EWMA (امیری و الله یاری ،۲۰۱۲)
جدول زیر خلاصه ای از تحقیقات انجام شده در تخمین نقطه تغییر در زمینه پایش پروفایل ها را نشان می دهد: (زند و همکاران، ۲۰۱۲)