چکیده
بررسی اندازه­ های فاصله برای مجموعه­های فازی شهودی و شهودی بازه­ای مقدار
به وسیله­:
طیبه جمالی
با معرفی منطق فازی مجموعه های بسیاری بر اساس این منطق معرفی گردید که از آن جمله می­توان مجموعه فازی شهودی و شهودی بازه­ای مقدار را نام برد. این مجموعه­ها نیازمند معرفی اندازه­ های فاصله بر اساس شرایط آن مجموعه­ها هستند. تاکنون اندازه­ های فاصله زیادی برای مجموعه­های فازی شهودی و شهودی بازه­ای مقدار معرفی شده است. ما در این پایانامه به بررسی این اندازه­ های فاصله می­پردازیم. در انتها یک اندازه فاصله وزنی جدید مبتنی بر اندازه­ های بررسی شده ارائه شده است. واژه­ های کلیدی: اندازه فاصله، مجموعه فازی شهودی، مجموعه فازی شهودی بازه­ای مقدار، اندازه فاصله هامینگ، اندازه فاصله وزن دار و اندازه فاصله اقلیدسی.
پیش گفتار
شاید به توان ادعا کرد تفکرفازی با شروع تفکر انسان همزاد است. یعنی بشر همواره کلمات و عباراتی را به کار گرفته است که مرزهای روشنی با هم نداشته اند. برخلاف ابهامات از نوع احتمال که مرز میان وقایع آن به­وضوح مشخص است (مثلا: در پرتاب یک سکه، به هر حال نتیجه پرتاب یا شیر است یا خط، بین این دو ابهامی وجود ندارد) در ابهام نوع فازی مرزها درهم آمیخته است. این درهم آمیختگی برای مردم یک سهولت و برای شعرا یک موهبت است. مردم عادی به کمک آن انتقال مفاهیم و استدلال را کوتاه می­ کنند و شعرا از آن به وجد می­آیند.
وقتی می­گوییم او جوان است، آزادی یک ارزش است و گرانی بیداد می­ کند، در عین نادقیقی، مفاهیم قابل فهمی را منتقل کرده ایم. این که در عبارت “کوه­های سر به فلک کشیده، جنگل­های گسترده و دشت­های زیبا ” نمی­گوییم هر کدام دقیقا چند متر است یا چند درجه زیباست، به میزان بلندی، گستردگی و زیبایی آن­ها خدشه­ای وارد نکرده­ایم. به این دلیل به نظر می­رسد فازی بودن جزء زندگی ماست و باید آن را شناخت و نیز به طریقی سنجید و به کارگرفت. تئوری مجموعه­های فازی، نخستین بار به طور رسمی توسط پرفسور لطفی عسگرزاده در سال ۱۹۶۵ مطرح شد. او از فارغ التحصیلان سال ۱۳۲۰ هجری شمسی دانشکده فنی دانشگاه تهران بود. کلمه فازی در لغت­نامه معانی مختلفی همچون مبهم، ناآشکار، نادقیق وگنگ دارد. پیش قدمی ژاپنی­ها در به کارگیری منطق فازی در سیستم کنترل (از جمله در تجهیزات صنعتی، مترو، لوازم خانگی و غیره) نقش مهمی در جلب توجه جهانیان و به ویژه متخصصان و مهندسان غربی به کارآیی و اثر بخشی این تئوری داشت. اکنون کاربردهای آن در علوم مختلف اجتماعی، صنعتی، مدیریتی، پزشکی وغیره به شدت مورد توجه است. پس از معرفی منطق فازی، مجموعه­های بسیاری بر اساس این منطق معرفی گردید. مجموعه­های فازی، مجموعه­های فازی شهودی، مجموعه­های فازی بازه ای مقدار و… از آن جمله­اند. برای هر مجموعه­ی معرفی شده، نیاز به معرفی اندازه­ های فاصله مبتنی بر شرایط آن مجموعه کاری دور از انتظار نیست.
تصویر درباره جامعه شناسی و علوم اجتماعی
در نتیجه ما در این پایان نامه در نظر داریم تا برخی از اندازه­ های فاصله را که تاکنون برای مجموعه­های مورد بحث بیان شده گرد آوری کنیم و سپس به مقایسه آنها می­پردازیم.
این پایان نامه مشتمل برسه فصل است. فصل اول شامل برخی تعاریف و مفاهیم اولیه فازی می­باشد. در فصل دوم و فصل سوم بعضی از اندازه­ های فاصله را به ترتیب برای مجموعه­های فازی شهودی و مجموعه­های فازی شهودی بازه­ای مقدار بیان می­­­­­­کنیم و با مثال­هایی کارایی آن­ها را نشان خواهیم داد.
فصل اول
تعاریف اولیه
مقدمه مفاهیم اولیه و تعاریف مقدماتی
در پیش گفتار مرور کوتاهی بر تاریخچه منطق فازی و علت استفاده از محاسبات فازی داشتیم، در این قسمت سعی داریم تا برای درک بهتر تفاوت­های مجموعه­های فازی[۱] و مجموعه­های غیرفازی[۲] به مرور برخی تعاریف مقدماتی بپردازیم. اغلب تعاریف فصل از منابع [۱] و [۱۷] استخراج شده است.
۱-۱- مجموعه­های غیر فازی
تعریف ۱-۱-۱- (مجموعه قطعی[۳]یا غیرفازی) یک مجموعه گردآیه­ای از اشیای کاملاً معین و متمایز می باشد که اشیای تشکیل دهنده آن را اعضای مجموعه یا عناصر مجموعه می نامیم.
به طور مثال مجموعه اعداد طبیعی ۱) ℕ=
مجموعه اعداد حسابی ۲) W=
مجموعه اعداد صحیح ۳) ℤ =
مجموعه اعداد گویا ۴) ℚ =
مجموعه اعداد گنگ =
مجموعه اعداد حقیقی ۶)
یک مجموعه را به چهار طریق می توان نشان داد:
۱) نمایش تفصیلی یا فهرستی: در این نمایش اعضای مجموعه به صورت فهرست داخل { } قرار می گیرند.
۲) نمایش ریاضی: در این روش اعضای مجموعه با توجه به خاصیت یا شرط مربوط مشخص می شود.
۳) نمایش نمودار ون: در این روش معمولا برای نمایش مجموعه از اشکال هندسی استفاده می شود.
۴) روش تعلق(تابع عضویت): در این روش عضو بودن یا عضو نبودن یک شی در مجموعه مد نظر است، این کار توسط یک تابع به نام تابع عضویت انجام می پذیرد.
فرض کنید بیانگر یک مجموعه­ی غیرفازی روی یک مجموعه مرجع[۴] باشد. تابع مشخصه[۵] این مجموعه یعنی را می­توان با نگاشت زیر تعریف کرد
به طوری که
(۱)
رابطه (۱) نشان می­دهد که اگر عنصر متعلق به باشد آن گاه و در غیر این صورت
۱-۲- روابط و اعمال روی مجموعه­ها
تعریف ) -۱-۲-۱شمولیت یا زیرمجموعه بودن[۶]) مجموعه­های و را روی مجموعه مرجع X در نظر بگیرید، اگر هر عضوعضوی از B باشد آنگاه را زیر مجموعه Bگوییم و این گونه نمایش می دهیم:
  x  x ,
تعریف -۲-۲-۱ (اجتماع[۷] دو مجموعه) اگرA و دو مجموعه دلخواه روی مجموعه مرجع X باشند، اجتماع آن­ها به صورت زیر تعریف می شود:

تعریف -۳-۲-۱ (اشتراک[۸] دو مجموعه) فرض کنید وB دو مجموعه دلخواه روی مجموعه مرجع باشند، اشتراک آن­ها به صورت زیر تعریف می شود:

تعریف -۴-۲-۱ (تفاضل دو مجموعه) فرض کنیدودو مجموعه دلخواه روی مجموعه مرجع باشند، تفاضل دو مجموعه به صورت زیر تعریف می­ شود:
.
تعریف -۵-۲-۱ (متمم[۹] یک مجموعه) فرض کنید مجموعه مرجع وA یک مجموعه دلخواه بر روی آن باشد، در این صورت متمم مجموعه A عناصری از می­باشند که متعلق به A نباشند.
تعریف -۶-۲-۱ (مجموعه محدب[۱۰]) فرض کنیدA زیر مجموعه ­ای از اعداد حقیقی ℝ باشد مجموعهA را محدب گوییم هرگاه:
.
تعریف -۷-۲-۱ فرض کنید A وB دو مجموعه دلخواه باشند، حاصل ضرب دکارتی دو مجموعه به این صورت تعریف می­ شود:
A  .
تعریف -۸-۲-۱ اگر A و دو مجموعه دلخواه باشند، Rرا رابطه ای از A به B گویند، هرگاه R  A باشد. در واقع رابطه یک نوع مجموعه دو بعدی می باشد. اگر R  A A باشد، R را رابطه­ای رویA گویند.
۱-۳- مجموعه­های فازی و توابع عضویت
نظر به این که مجموعه­های غیرفازی به وسیله توابع مشخصه نشان داده می­ شود، مجموعه­های فازی را به کمک توابع عضویت[۱۱] بیان می­کنیم. به کمک توابع مشخصه مجموعه­های غیرفازی، در مورد تعلق یا عدم تعلق یک عضو به مجموعه اظهارنظرکنیم، درحالی­که توابع عضویت مجموعه­های فازی این امکان را به ما می­دهد که میزان تعلق یا درجه عضویت[۱۲] را به صورت یک عدد حقیقی بین تا ١ انتخاب کنیم. مجموعه­های فازی را می­توان توسیعی از مجموعه­های غیرفازی دانست. از این رو می­توان توابع عضویت را نیز توسیعی از توابع مشخصه در نظرگرفت.
فرض کنیم که مجموعه افراد یک شهر و مجموعه افراد جوان این شهر باشد. مجموعهرا به صورت مشخص نمی­توان بیان کرد و بستگی به اشخاص و موضوع مورد نظر مسئله تغییر می­ کند. به طور مثال یک شخص۳۰ ساله آیا در مجموعه قرار می­گیرد یا نه؟ نظر من و شما یکی نیست. حال سؤال را به گونه دیگری مطرح می­کنیم: یک شخص۳۰ ساله به چه میزان جوان است، به چه میزان به تعلق دارد؟ می­بینیم که این سؤال منطقی­تر است و اکنون من و شما می­توانیم تا حدودی به توافق برسیم. حال به هر عضو یک درجه عضویت بین نسبت می­دهیم که میزان عضویت هر شخص به را نشان می­دهد.
تعریف ۱-۳-۱- مجموعه ­فازی روی ، به وسیله یک تابع عضویت که بیانگر نگاشت زیر است، تعریف می شود.
(٢) در اینجا مقدار عبارت از مقدار عضویت یا درجه عضویت به مجموعه فازی است.
مقدار توابع مشخصه برای مجموعه­های غیر فازی که در رابطه (۱) تعریف شده است مقدار صفر یا یک است، در حالی که مقدار عضویت مجموعه­های فازی می ­تواند یک مقدار حقیقی دلخواه بین صفر تا یک باشد. هرچه مقدار به یک نزدیک­تر باشد، درجه تعلق عنصر به مجموعه­ فازی بیشتر است و اگر، آنگاه گوییم عنصر به مجموعه­فازی اصلا تعلق ندارد.
همان طور که در شکل ۱-۱مشخص است در مجموعه­های غیر فازی یک فرد با قد ۱۶۸سانتی­متر فردی کوتاه و فرد دیگری با قد ۱۷۱ سانتی­متر، متوسط محسوب می­ شود، در حالی که، در مجموعه­های فازی فرد با قد ۱۶۸ سانتی متر با ارزش ۳/۰ در گروه افراد کوتاه و با ارزش ۷/۰ در گروه افراد متوسط قرار می­گیرد و این واقعیت در شکل ۱-۲ نمایان است.

شکل(۱-۱) تقسیم بندی افراد با مجموعه غیر فازی بر اساس طول قد [۱]

شکل( ۱­-۲ ) تقسیم بندی افراد با مجموعه فازی براساس طول قد
در نظرگرفتن چنین واقعیتی، لازمه بیان عدم قطعیت در سیستم­های فیزیکی و طبیعی را نشان می­دهد، همان گونه که ذهن انسان تقسیم بندی واقع­گرایانه را انجام می­دهد.
۱-۴- نمایش مجموعه­های­فازی
۱) نمایش گسسته: فرض کنید مجموعه مرجع (متناهی) به ­صورت زیر باشد
مجموعه فازی روی را به­صورت زیر می­توان بیان کرد
(۳) .
همچنین، یک مجموعه فازی را می­توان به­صورت یک مجموعه از زوج­های مرتب به فرم زیر نیز نمایش داد
(۴)
۲) نمایش پیوسته: وقتی مجموعه مرجع مجموعه ­ای نامتناهی است، مجموعه فازی روی را می­توان به صورت زیر بیان کرد
(۵)
۳) نمایش مجموعه­ای:
(۱ در حالت گسسته:
۲) در حالت پیوسته:

۱-۵- برخی مفاهیم اساسی برای مجموعه­های فازی
تعریف ۱-۵-۱- [۴۰] فرض کنید بیانگر یک مجموعه فازی روی مجموعه مرجع باشد. برای هر مقدار ، ـ برش[۱۳] و ـ برش قوی[۱۴] ، را به ترتیب به صورت مجموعه­های قطعی(غیرفازی) زیر تعریف می­کنیم
– برش:
(۶)
– برش قوی:
(۷)
تعریف -۲-۵-۱ مجموعه فازی را محدب گویند اگر برای هر و