۵-۳- سینماتیک:
سه دستگاه مختصات کارتزین در شکل (۹-۳) در نظر گرفته ایم. دستگاه مختصات در روی مرکز خطوط قرار گرفته است که با سرعت V نسبت به مرجع لخت حرکت می کند. دستگاه مختصات یک دستگاه مختصات میانی را تشکیل می دهد که چرخ حول محوررا با زاویه نشان می دهد. دستگاه مختصات دستگاه مختصات واقع بر مرکز جرم چرخ و محور را نشان می دهد. علاوه بر این ما دو دستگاه مختصات دیگر واقع بر محل آنی تماس به ترتیب برای چرخ سمت راست و چپ در نظر می گیریم که در شکل (۱۰-۳) نشان داده شده است. این دستگاه های مختصات استفاده می شوند تا جهت نیروهای تماس چرخ و ریل را نشان دهند.

شکل ۹-۳- دستگاه های مختصات استفاده شده برای استخراج معادلات
معادلات انتقالی ما بین این دستگاه ها بصورت زیر هستند:

که برای مقادیر کوچک معادله ۱۵-۳ می تواند شکل زیر در آید:

در معادلات این فصل,, همان و,, همان و ,, همان هستند.
در شکل بعدی زوایای تماس راست و چپ نقاط تماس را نشان می دهند و به ترتیب شعاعهای غلتش چرخهای سمت راست و چپ را نشان می دهند. معادلات انتقالی از دستگاه نقاط تماس به دستگاه مختصات واقع بر مرکز جرم چرخ و محور به صورت زیر است:
شکل ۱۰-۳- معرف پارامترهای تماس چرخ وریل
شکل ۱۱- ۳- بردارهای مورد استفاده درنقاط تماس چرخ وریل
(۱۶-۳) (۱۷-۳)
۶-۳- درجات آزادی و قیود:
درجات آزادی ای که در استخراج معادلات استفاده می شوند عبارتند از:
x: جابجایی مرکز جرم محور در راستای طولی
y: جابجایی مرکز جرم محور در راستای عرضی
z: جابجایی مرکز جرم محور در راستای قائم
: دوران رول حول محور
: دوران یا و حول محور
: اغتشاش دورانی از جابجایی دورانی حول محور که چرخ حول آن با سرعت اسمی که مقدار آن برابر است با که در این معادله شعاع اسمی چرخ است.

در اینجا اینگونه فرض می شود که چرخ از ریل بلند نمی شود و همواره با ریل در تماس است. با این فرضیات حرکت چرخ و محور در راستای قائم و در راستای رول به حرکت در راستای عرضی و یا و وابسته می شود. علاوه بر این فرض می شود که وابستگی حرکت در راستای قائم و در راستای رول به حرکت یا و از درجه دوم باشد وبا صرف نظر کردن از این وابستگی می توان این دو حرکت را تنها تابعی از حرکت عرضی در نظر گرفت. پس بنابراین می توان دو معادله ای را که حرکت در راستای قائم و رول را مقید می سازند بصورت زیر نشان داد:

در معادلات بالا نقطه نشان دهنده مشتق نسبت به زمان است یعنی و علامت پریم نشان دهنده مشتق نسبت به حرکت در راستای عرضی است یعنی .
۷-۳- معادلات عمومی حرکت چرخ و ریل:
معادلات حرکت چرخ و ریل را بر مبنای دستگاه مختصات که به حالت تعادل محور ارجاع دارد می نویسیم. انتقال بین این دستگاه تعادلی و دستگاه متصل به جسم با بهره گرفتن از معادله ۳-۳ صورت می گیرد. سرعت زاویه ای چرخ و محوربصورت زیر است:
(۱۹- ۳)
با بهره گرفتن از معادله ۱۵-۳، دستگاه مختصات متصل به جسم بصورت زیر است:
(۲۰- ۳)
مومنتم زاویه ای در دستگاه مختصات متصل به جسم برابر است با:
(۲۱-۳)