بطوریکه
با حل این دترمینان ضرایب، دوازده رابطه بدست می آوریم که جمع همه آنها برابر صفر است. تحت دوبدو قرار دادن روابط، معادلات به شش رابطه کاهش می یابد، با تکرار کاهش دوبدوی روابط از طریق ساده کردن روابط مشابه، سه معادله بصورت زیر بدست می آید که تحت مساوی صفر قرار دادن دترمینان ضرایب، جمع آنها برابر صفر شده است:
(۴-۲۶)
بطوریکه
FDBC
با جایگذاری روابط (۴-۱۷) و انجام محاسبات ریاضی، یک معادله درجه دوم بر حسب انرژی E بدست می آید:
(۴-۲۷)
بطوریکه
با حل معادله بالا، طیف انرژی آندریف محاسبه می گردد:
(۴-۲۸)
بطوریکه
(۴-۲۹)
طبق رابطه (۳-۱۳) جریان جوزفسون با مشتق گیری از انرژی بدست آمده، محاسبه می گردد.بررسی های ما در دمای انجام گرفته است، در نتیجه جریان جوزفسون در یک اتصال SIS از رابطه زیر بدست می آید
(۴-۳۰)
با مشتق گرفتن از E، بر حسب پارامترهای موجود در آن، نسبت به وقرار دادن در (۴-۲۹) محاسبه جریان جوزفسون و همچنین رسم نمودار آنها انجام می شود.
(در روابط موجود ریاضی فقط تابع می باشدکه در مشتق گیری از رابطه طیف انرژی آندریف، مشتق گیری از این پارامتر وپارامترهای وابسته به آن یعنی و و لحاظ می شوند).
جریان بحرانی نیز با رسم نمودار مربوط به خود قابل بحث و نتیجه گیری می باشد:
(۴-۳۱)
۴-۳-۴- نتایج عددی و بحث برروی آنها
در این قسمت به بحث بر روی محاسبات عددی می­پردازیم و اثر کشش را بر جریان جوزفسون راستای x برای جفت شدگی نوع d نشان می­دهیم. نمودارهای (۴-۵) بیانگر رابطه سطوح انرژی آندریف بر حسب زاویه تابش می­باشند که برای دو نوع از جهت­گیری پتانسیل جفت­شدگی رسم شده است. واضح است که اندازه زاویه  در تأثیر کشش بر روی انرژی مؤثر است، بطوریکه در  اندازه کشش تأثیری در سطوح انرژی ندارد. البته قابل ذکر است که صفرهای سطوح انرژی آندریف با همین جهتگیری پتانسیل جفت­شدگی در ارتباط است. اما در کل اثر کشش بر روی سطوح انرژی در این نوع از جفت­شدگی ناچیز است. همانند جفت­شدگی معمول ابررسانایی اگر نمودارهای سطوح انرژی را بر حسب اختلاف فاز رسم کنیم کشش تأثیری در تابعیت انرژی نخواهد داشت.

نمودار ۴-۵-الف- سطوح انرژی آندریف بر حسب زاویه تابش به ازای
۱
نمودار ۴-۵ - ب- سطوح انرژی آندریف بر حسب زاویه تابش به ازای
در نمودار (۴-۶) جریان جوزفسون بر حسب اختلاف فاز رسم گردیده است. در این محاسبه اندازه شدت سد را برابر در در نظر گرفته­ایم.
نمودار نشان می­دهد افزایش کشش جریان جوزفسون را کاهش می­دهد اما محل وقوع کمینه و بیشینه مقدار جریان را عوض نمی­کند. در ادامه به بررسی رفتار جریان جوزفسون بحرانی بر حسب شدت سد می­پردازیم (نمودار۴-۷). این جریان عبارت است از بیشینه مقدار جریان در بازه .
در نتیجه اندازه اختلاف فاز که در آن جریان بحرانی رخ می­دهد از نمودار (۴-۶) قابل دسترسی می­باشد. فرکانس نوسانات برای جریان جوزفسون بحرانی در راستای کشش ثابت است. مقدار جریان بحرانی نیز به ازای  ثابت می­باشد. اما آشکار است که دامنه نوسانات با افزایش کشش افزایش می­یابد. البته تمامی این نتایج برای جریان جوزفسون در راستای کشش صادق می­باشد. مثلاً فرکانس نوسانات جریان جوزفسون در راستای عمود بر کشش با تغییر میزان کشش تغییر می­ کند.
در این تحقیق تاثیر سرعت نامتقارن فرمیونهای بدون جرم در گرافن تغییر شکل یافته بر طیف انرژی آندریف و همچنین جریان جوزفسون در یک پیوند SIS نشان داده شده است.
با اعمال کشش در جهت زیگزاگ، سرعت نامتقارن بسیار بالا برای فرمیونها در ناحیه نزدیک به کشش بحرانی مشاهده گردید. با مقایسه دو جفت شدگی نوع s و d در این اتصال، نتایج زیر حاصل گردید:
در سطوح انرژی آندریف تغییری مشاهده نگردید.
جریان جوزفسون در هر دو جفت شدگی، رفتاری کاملا مستقل نشان می دهد.
در مقایسه جریان بحرانی، در جفت شدگی نوع s تغییر فرکانس مشاهده گردید. فرکانس جریانها برای دو حالت موازی و عمود بر کشش بصورت افزایشی و کاهشی مشاهده گردید؛ اما در جفت شدگی نوع d فرکانس نوسانات بصورت ثابت مشاهده شد.
نمودار ۴-۶- جریان جوزفسون بر حسب اختلاف فاز به ازای  و
نمودار ۴-۷- جریان جوزفسون بحرانی بر حسب شدت سد
نتیجه گیری
با کشف مواد ابررسانا افقهای جدیدی در زمینه علم و تکنولوژی مخصوصا در حوزه فیزیک حالت جامد پیش آمد. در ابتدا مواد ابررسانا بصورت موادی که دارای مقاومت صفر هستند معرفی شده اند ولی بعدها با کشف اینکه این مواد در حالت ابررسانایی دافع خطوط شار مغناطیسی از درون خود هستند، مواد ابررسانا بصورت موادی که دارای مقاومت الکتریکی صفر و خاصیت دیامغناطیس کامل هستند شناخته شدند. امروزه بدلیل مشاهده رفتارهای پیچیده الکتریکی و مغناطیسی در این مواد، ابررسانایی بصورت یک ترکیب جالب از خواص الکتریکی و مغناطیسی در مواد ابررسانا تعریف می شود.
ابررسانایی یکی از خواص جالب گرافن است و مطالعات زیادی برروی ابررسانایی گرافن شده است. گرافن ابررسانا دارای خصوصیات متفاوتی از جمله انعکاس آندریف^[۱۳۷]، تونل زنی، اثرجوزفسون و … می باشد و با بهره گرفتن از فرمالیسم نسبیتی ابررسانایی می توان به مطالعه این آثار در پیوندهایی با پایه گرافن پرداخت. لازمه پیوند بین نسبیت و ابررسانایی در این مسائل استفاده از معادله دیراک – باگالیوباف – دی جنیس می باشد. در کار حاضر که به بررسی جریان جوزفسون پیوندهای با پایه گرافن پرداخته شد، با بهره گرفتن از این معادله به مطالعه جریان جوزفسون در اتصالات پایه گرافن کش دار با جفت شدگی نوع d پرداختیم. تاثیر این نوع جفت شدگی مورد استفاده در ساختار، با تغییراتی در نتایج و نمودارهای انرژی آندریف و جریان جوزفسون نسبت به جفت شدگی نوع s مشاهده گردید. در این ساختار گرافن کش دار و بدون گاف بررسی گردید. می توان این کار برای سایر پدیده ها و مدلهای مختلف ساختارهای گرافنی بدون کشش و تحت کشش و با انواع جفت شدگی ها بکار برد. لایه اتصال نیز می تواند فلز نرمال، عایق و یا فرومغناطیس باشد.
القای ابررسانایی در گرافن امکان استفاده از اتصالات جوزفسون را در نانو الکترونیک فراهم می­ کند. این ساختارها در انواع مختلف جفت­شدگی­ها می ­تواند وجود داشته باشند که نتایج آن کاربردهای زیادی دارد. در کار حاضر اتصالی با جفت­شدگی غیرمعمول را مطالعه کرده­ایم که گرافن مورد مطالعه تحت کشش می­باشد.
منابع و مراجع
[۱] D. G. Flynn, The Quantum Hall Effect in Graphene , Department of Physics, Drexel University, Philadelphia, PA (2010(
[۲] K. H. Ding, Z. G. Zhu and J. Berakdar, Charge and spin Hall effect in graphene with magnetic impurities, EPL, ۸۸ (۲۰۰۹) ۵۸۰۰۱
[۳] S. Wang, P. K. Ang, Z. Wang, A. L. Tang, J. L. Thong, and K. P. Loh, High Mobility, Printable, and Solution-Processed Graphene Electronics, Nano Lett, ۱۰ (۲۰۱۰) ۹۲-۹۸
[۴] J. B. Oostinga, Quantum transport in graphene, (2010)
[۵] J. S. Bunch , Mechanical and electrical properties of graphene sheets, PhD Thesis, Cornell University (2008)
[۶] M. Evaldsson, Quantum transport and spin effects in lateral semiconductor nanostructures and graphene, Link¨oping studies in science and technology, Dissertations, (2008 )
]۷[ مقدمه ای بر ابررسانایی، آ. سی. روزی اینز، ای. اچ. رادریک، ترجمه: حمیدرضا مهاجری مقدم، انتشارات آستان قدس رضوی، ۱۳۷۲.
[۸] V. V. Schmidt, P. Muller, and A. V. Ustinov, The physics of superconductors, Introduction to fundamentals and applications, 1997
[۹] E. O ^,Reilly, Quantum theory of solids, Taylor & Francis, 2004