(۷۶-۱) :
آخرین عبارت سمت چپ فقط تابع است بنابراین :

(۷۷-۱) :
یک ثابت است . با جایگذاری (۷۷-۱)در (۷۶-۱) و ضرب دو طرف در داریم :
(۷۸-۱) :
سومین عبارت سمت چپ رابطه بالا فقط تابع است بنابراین می تواند برابر ثابت باشد .
(۷۹-۱) :
(۸۰-۱) :
سپس با بهره گرفتن از (۷۸-۱) و ضرب دو طرف رابطه (۷۷-۱) در () داریم :
(۸۱-۱) :
جواب های روابط (۷۸-۱) تا (۸۰-۱) به ترتیب به شکل زیر نوشته می شود {۱۹}:
(۸۲-۱ الف ) :
(۸۲-۱ ب) :
(۸۳-۱ الف ) :
(۸۳-۱ ب) :
(۸۴-۱ الف) :
(۸۴-۱ ب) :
همان طور که مشاهده می کنیم به ازای هر معادله ای که شامل یک متغیر می باشد،دودسته جواب داریم. در رابطه (۸۲-۱ الف ) ، و به ترتیب توابع بسل^[۱۵] نوع اول و دوم هستند که برای نمایش امواج ایستا استفاده می شوند . در رابطه (۸۲-۱ ب ) و به ترتیب توابع هنکل^[۱۶] نوع اول و دوم هستند که امواج در حال حرکت را نمایش می دهند{۲۶و۱۹} . در رابطه (۸۳-۱ الف) توابع نمائی نشان دهنده ی امواج در حال حرکت و رابطه (۸۳-۱ ب) نشان دهنده امواج متناوب است . برای اینکه میدان ها در متناهی شوند ،از آنجایی که دریک تکنیکی دارد ،را می توانیم به این گونه بنویسیم :
(۸۵-۱ ) :
اگر میدان ها را در ناحیه ی خارج استوانه بخواهیم باید باشد زیرا در بی نهایت ، نا متناهی است .

مدهای میدان الکتریکی عرضی در مختصات استوانه ای

برای بدست آوردن مدهای میدان الکتریکی عرضی مولفه ی تابع پتانسیل برداری را در نظر می گیریم که معادله ی موج برداری را ارضا کند{۲۹ ۱۹} .
(۸۶-۱) :
در بخش قبل جواب های این معادله را بدست آوردیم . با در نظر گرفتن موجی که فقط در جهت+z حرکت می کند می توانیم بنویسیم که :
(۸۷-۱) :
ثابت های وو وو و m و و با بهره گرفتن از شرایط مرزی زیر بدست می آیند :
میدان ها در هر جا باید متناهی باشند
میدان ها باید به اندازه ی رادیان در تکرار شوند .
مولفه میدان الکتریکی را می توان نوشت :
(۸۸-۱) :
که این رابطه ایجاب می کند که :
(۸۹-۱):
را نشان می دهد . امین صفر مشتق تابع بسل نوع اول مرتبه ی ،
می توانیم به این صورت بنویسیم : مد
(۹۰-۱):
در رابطه بالا اگر باشد آنگاه امواجی خواهیم داشت که میرا هستند در واقع قدرت انتشار ندارند ،اگر باشد آنگاه امواج ایستا را خواهیم داشت و اگر باشد، امواجی را خواهیم داشت که منتشر می شوند ،و در این حالت است که می توانیم در مورد تولید امواج آهسته بحث کنیم. در صورتی می توانیم امواج آهسته داشته باشیم که باشد یا به عبارتی باشد که می دانیم برای محیط خلأ است . حال اگر استوانه تو خالی باشد یعنی محیط آن خلأ باشد نمی توانیم امواج آهسته داشته باشیم اما اگر درون استوانه دی الکتریک با ضریب گذردهی ریخته باشیم آنگاه داریم:
(۹۱-۱):
در این حالت اگر مقدارش به گونه ای باشد که این رابطه برقرار باشد آنگاه می توانیم امواج آهسته داشته باشیم . مولفه های میدان الکتریکی و مغناطیسی می توانند به این صورت نوشته شوند :
(۹۲-۱):
(۹۳-۱):
(۹۴-۱):
(۹۵-۱):
(۹۶-۱):
(۹۷-۱):
برای اینکه درک بهتر و واضح تری از مدهای و داشته باشیم در شکل زیر پیکربندی های میدان
بعضی از مد های و را در یک موجبر دایروی آورده ایم{۳۰}.
شکل۷-۱ .پیکربندی های میدان مدهای و/یا در یک موجبر دایروی{۳۰}.

استوانه ی دی الکتریک

در این بخش مرور کلی بر موجبر استوانه ای دی الکتریک^[۱۷] را داریم (شکل) و فقط معادلات میدان در ناحیه ی داخل و خارج استوانه را می نویسیم چرا که در فصل دوم و سوم به طورکامل این نوع موجبرها را مورد بررسی قرار می دهیم .
ا
شکل ۸-۱ هندسه ی موجبر دی الکتریک دایروی {۱۹}.
بطور کلی میدان ها در این نوع موجبرمد یا و یا هردو مد با هم هستند ، همان طور که در یک موجبر دی الکتریک مستطیلی نیز داشتیم . در یک میله ی دی الکتریک استوانه ای مدهای خالص یا زمانی وجود دارند که پیکربندی های میدان متقارن و مستقل از باشند در عوض پیکربندی های میدان که نامتقارن و تابع زاویه ی هستند ،ترکیبی از مدهای و را دارند که به صورت نشان داده می شوند {۳۱}و به آنها مدهای هیبریدی^[۱۸] گفته می شود{۳۲}. روش دیگر برای نمایش مدهای هیبریدی به صورت (وقتی که مدهای غالب باشند) یا (وقتی که مد های غالب باشند ) نمایش داده میشود {۱۹}.