(۴-۴)
ویژه حالت متناظر با ویژه مقدار صفر هامیلتونی سیستم که حالت تاریک نامیده میشود بصورت زیر است:
(۴-۵)
مشاهده میکنیم در حالت تاریک اتم‌ها در حالت پایه هستند و فیبر در حالت تهی میباشد.
میتوان تهی بودن فیبر را با پدیده تداخل ویرانگر توجیح نمود. به این ترتیب که کت حالت  ، توسط کت حالت  به حالت  منتقل میشود. چون دو انتقال حالت زیر :
(۴-۶)
به طور ویرانگر رخ میدهند، مد فیبر در حالت تهی باقی میماند. به عبارت دیگر فیبر یک نقش مهم به عنوان رابط دو کاواک بازی میکند.
برای این که بتوانیم از جمعیت مد کاواک در حالت برانگیخته صرف نظر کنیم باید حالت  برقرار باشد. حال به نحوه ایجاد در هم‌تنیدگی بین دو اتم  میپردازیم. ابتدا اتم  در حالت  و اتم  در یک برهم نهی از حالت‌های  است و همه مدهای میدان در حالت تهی میباشند. سپس حالت  با بهره گرفتن از پالس های لیزری به صورت گذار بی‌دررو به حالت  تحول می‌یابد، ( با توجه به حالت تاریک و با بهره گرفتن از پالسهای لیزری  ) در حالی که  بدون تغییر باقی میماند. برای بررسی بیشتر گذار بی دررو با در نظر گرفتن حالت اولیه  و با توجه به رابطه (۴-۵)، حالت تاریک به صورت زیر است:

(۴-۷)
ابتدا فرض میکنیم  و  برقرار باشد. در این صورت، حالت تاریک تقریبا به صورت  است. برای اینکه سیستم به روش گذار بیدررو به حالت  تحول پیدا کند، به آرامی  را افزایش و  را کاهش میدهیم. بنابراین در زمان  به شرط  میرسیم. همزمان برای حالت اولیه  تحول حالتها با توجه به هامیلتونی در زیر فضای زیر اتفاق میافتد:
(۴-۸)

شکل ۴-۲: الگوی جفت شدگی سیستم برای حالت اولیه  .
نمایش ماتریس هامیلتونی در این زیر فضا بصورت زیر بدست میآید:
 (۴-۹)
ویژه حالت متناطر با ویژه مقدار صفر هامیلتونی بصورت زیر بدست میآید:
(۴-۱۰)
مانند حالت تاریک قبل مشاهده میکنیم که ویژه حالت  برای فیبر در حالت تهی است و چون شرط  همواره برقرار است، پس حالت  بدون تغییر باقی میماند.
پس تحت گذار بی دررو به حالت زیر خواهیم رسید:
(۴-۱۱)
با تبدیل  داریم:
(۴-۱۲)
سپس پالسهای  و  را برای تبدیل  به صورت بی‌دررو اعمال میکنیم. یعنی با شرط  ،  . همزمان حالتهای  هیچ تغییری نمیکنند. بنابراین داریم:
(۴-۱۳)
در نهایت با اعمال میدان کلاسیکی و تحول حالتهای:

داریم:
(۴-۱۴)
که برای هر دواتم  و  ، حالت های کوانتومی در سه تراز  کدگذاری شدهاند.
خاطر نشان میکنیم که دینامیک سیستم(دو اتم مجزا در دو کاواک)، محدود به ترازهای پایه است و ترازهای دیگر به ترازهای  جفت نشدهاند(نه با جفت شدگی همدوس و نه با واپاشی غیر همدوس). پس دو اتم میتوانند به عنوان سیستمی در نظر گرفته شوند که برای آنها  بیشینه درهم‌تنیدگی را دارد.
۴-۲ ایجاد درهم‌تنیدگی GHZ در سیستم اتم-کاواک-فیبر برای سه اتم در سه کاواک به روش گذار بی‌دررو
در این حالت در هم‌تنیدگی سه اتم سه پایه در سه کاواک را مورد بررسی قرار میدهیم. با توجه به شکل۴-۳ مشاهده میکنیم که سه اتم  در سه کاواک  قرار دارند که توسط دو فیبر  به هم متصل هستند. هر اتم سه تراز پایه  و یک تراز تحریکی   دارد. کاواک  تک مد و کاواک  دارای دو مد است. ترازهای اتمی  و  به ترتیب توسط مد کاواک با قطبیدگی دایروی چپ‌گرد و دایروی راست‌گرد و ترازهای  توسط پالس لیزری  به هم جفت میشوند.

شکل ۳-۴ بالا: سیستم اتم-کاواک-فیبر برای سه اتم سه پایه محبوس در سه کاواک مجزا که توسط دو فیبر به هم متصل هستند. پایین: الگوی جفت شدگی ترازهای اتمی کل سیستم.
در تصویر بر هم کنش هامیلتونی کل سیستم به صورت زیر است:
(۴-۱۵)
(۴-۱۶)
(۴-۱۷)
، فرکانس های رابی و فاز لیزر،  عملگر های خلق و نابودی برای مد قطبیده دایروی چپ گرد(راست گرد) کاواک  و  و  عملگرهای خلق و نابودی مد تشدید فیبر میباشند. در طرح مورد نظر جفت شدگی‌های‌ اتم-کاواک و کاواک-فیبر را یکسان در نظر میگیریم.
(۱۸-۴)
حالت کوانتومی کاواک  با کت حالت  شامل  فوتون قطبیده دایروی چپ‌گرد (راست‌گرد)،  حالت کوانتومی کاواک  شامل  فوتون قطبیده دایروی چپ‌گرد و  فوتون قطبیده دایروی راست‌گرد است و  حالت کوانتومی میدان فیبر  را نشان میدهد.
با در نظر گرفتن حالت اولیه سیستم به شکل زیر :
(۴-۱۹)
با توجه به هامیلتونی اندرکنش تحول حالت‌ها در زیر فضای زیر خواهد بود: